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[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
1 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
文：至高天使长
纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名（一）：规则和理论基础
Heroes3里面有9大种族，每个族有14种兵种，再加上中立兵种，可谓兵种众多，热闹非凡。兵种一多，很自然的，有一个问题产生了：哪种兵种最强？或者更进一步说，两种兵种之间怎样比较谁更强？
最简单也最直观的一个办法就是看兵种的属性。比如农民的属性Att/Def/Dmg/hp
/sp：1/1/1/1/3，无论哪项属性都是最差，显见，农民是Heroes3最弱的兵种。
但是更多的时候，我们无法直观地从兵种的属性上看出谁更强，比如很相似的两种兵种：
金龙Att/Def/Dmg/hp/sp：27/27/40-50/250/16
黑龙Att/Def/Dmg/hp/sp：25/25/40-50/300/15
黑龙血厚金龙攻防高速度快，它们之间到底谁更强呢？一句棋逢对手、不相上下不是
我们寻求的最终答案。因此，有必要建立一套评判的标准来评定兵种实力的强弱。
一个很自然的办法就是将两种兵种拉来单挑，胜者说明实力更强。但是由于Heroes3里面绝大多数兵种的Dmg都是在一个范围内波动（天使、那加等少数兵种除外），这就使得单挑运气成分较大，一方连续几次高伤害就可能得胜，有人说多测几次看哪方胜率高不就行了，这固然是减小运气成分的一个办法，但是有时候胜率不相上下时比如上面的金龙和黑龙，它们之间的胜率非常细微，可能要测上几百次乃至上千次，非常繁琐，而且也不见得能够得出准确的结果。
更好的办法是NvsN，N是一个充分大的自然数，两方兵种各取N个分成一堆单挑，这样不仅可以有效减小运气成分，更可以杜绝“单挑王子”幽灵、桥梁怪的“作弊”行为（恢复hp特技使得它们同级兵单挑无敌，但这显然不是它们真实实力的反映）。
方法已经确定，下面就是建立规则了。
既然是兵种之间的单挑，那么
1、双方都不分堆且一切外界因素都应该尽量杜绝，比如英雄攻防指数、特技、技能、宝物、魔法、地形、士气和运气[注1]等等；
其次，双方都应该能选择自己的最佳策略，例如速度快的一方可以选择等待。但在数量较少的时候，由于原地防御可以增加防御力，这样原地防御一方可以占到优势（受伤害减少反击伤害不减），因此如果一方防御另一方势必也会无奈选择防御，这样子一回合就会被浪费，甚至会出现双方都一直选择防御的情况，这种消极比赛的态度是广大观众不愿见到的，因此我们规定
2、双方都可以选择自己的最佳策略，但都没有防御的权利。
这两点就是单挑应该遵守的基本原则。
在用实践得出结论之前，我们有必要先用理论来指导一下实践。我们的目的是尽可能地量化单挑两兵种之间的实力比，这无疑对实践有着积极的作用。下面我们以大天使和大恶魔这对天敌单挑为例来说明。
先来看看双方的基本属性：
天使Att/Def/Dmg/hp/sp：30/30/50/250/18
恶魔Att/Def/Dmg/hp/sp：26/28/30-40/200/17
如果恶魔不是攻击不反击这场单挑根本没有任何悬念。但即便是恶魔攻击不反击，通过我们实际测试，天使也是完胜恶魔，不论是1vs1还是NvsN。我们的问题是天使的实力比恶魔强多少？
NvsN的结果必然是天使剩余一定数量，这说明如果恶魔数量再多一些天使依然有可能胜出，实际测试，5个天使就能赢6个恶魔——这说明天使的实力比恶魔至少强20%——这也启发我们，天使能够赢的恶魔的最大数量M与天使自身数量N的比值M/N就是双方的实力比的近似值。精确的叙述如下：
假设N个天使能赢M个恶魔但是不能赢M+1个恶魔（M显然是存在的），这样M是N的一个函数，记为M=f(N)，f(N)即为N个天使能赢的恶魔最大数量，同时令g(N)=M+1=f(N)+1，g(N)即为N个天使不能赢的恶魔最小数量，h(N)=f(N)/N，则当N趋向于无穷大时h(N)的极限值P就是天使和恶魔的实力比（极限的存在性需要证明，见下文）。
由此得出如下结论：
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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2 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
①、lim[f(N)/N]和lim[g(N)/N]同时存在，如果存在则两者相等。这里lim代表N趋向于无穷大时的极限。
如果P=lim[f(N)/N]存在，则lim[g(N)/N]=lim{[f(N)+1]/N}=lim[f(N)/N]+lim[1/N]=P，反之亦然。
②、如果n个天使可以赢m个恶魔，t个天使可以赢s个恶魔，那么(n+t)个天使可以赢(m+s)个恶魔；反之结论同样成立：m个恶魔可以n个天使，s个恶魔可以赢t个天使，那么(m+s)个恶魔可以赢(n+t)个天使。
这一条称作叠加性原理[注2]，是整个推导过程的基础。
③、f(n1)+f(n2)+…+f(nk)<=f(n1+n2+…+nk)<g(n1+n2+…+nk)<=g(n1)+g(n2)+…+g(nk)[注3]。
由于n1个天使可以赢f(n1)个恶魔但是不能赢g(n1)个，将n1换成n2,n3,…,nk等一样成立，由②立即可得：n1+n2+…+nk个天使可以赢f(n1)+f(n2)+…+f(nk)个恶魔但是不能赢g(n1)+g(n2)+…+g(nk)个，由f和g的定义立即得出不等式成立。
④、P=lim[f(N)/N]存在。
证明需要用到数学分析的一些基础知识，若不感兴趣可以直接跳过。
由①知只需证P=lim[g(N)/N]存在。
首先g(N)/N有界。在③中令n1=n2=…=nk=1即得kf(1)<g(k)<=kg(1)，易见f(1)=1
,g(1)=2，故1<g(k)/k<=2，即有界。
由于g(N)/N有界，故下极限和上极限均存在，设为P和Q，则有两个无穷子列{ni}
{mj}使得g(ni)/ni->P,g(mj)/mj->Q，固定一个ni(>=2)，对于所有的j，将mj写成如
下形式：
mj=uj*ni+vj,uj>=0,0<=vj<ni,j=1,2,3,…
由③易得g(mj)<=uj*g(ni)+g(vj)，这里g(0)=0。由于vj只有ni种取值情况，故g(vj)有界T，从而
g(mj)/mj<=[uj*g(ni)+T]/(uj*ni)
令j->∞注意到mj,uj->∞即得Q<=g(ni)/ni。
由于ni是任取的，故上式对于所有的i都成立，令i->∞得Q<=P，从而上下极限相等，立知lim[g(N)/N]存在（且等于上下极限）。
⑤、对于所有的N，f(N)/N<P<g(N)/N，f(N)=[P*N]。这里[]表示取整。
在③中令n1=n2=…=nk=N即得kf(N)<=f(k*N)<kg(N)，从而
f(N)/N<=f(k*N)/(k*N)<g(N)/N
再令k->∞由④得f(N)/N<=P<=g(N)/N，结合下文要说明的P为无理数可知等号不会成立。
这个结论告诉我们可以用f(N)/N来作为P的近似值。
同样如果P值已知，亦可以由P*N-1<g(N)-1=f(N)<P*N得出f(N)=[P*N]。
⑥、P=1.24795…。
令 x=1天使对恶魔的伤害/1恶魔的hp y=1恶魔对天使的伤害/1天使的hp，则
x=(1+2*5%+50%)*50/200=0.4 y=(1-4*2.5%)*(1+50%)*35/250=0.189
这里将恶魔的Dmg取为平均值35。
考虑k*N天使VSk*f(N)恶魔，这里k是与N无关的待定参数。第一回合天使攻击，恶魔剩余b=k*[f(N)-x*N]个，用k来保证恶魔数量恰为整数，然后恶魔反击再攻击，
第一回合结束，天使剩余a=k*{N-2y*[f(N)-x*N]}个，用k来保证天使数量恰为整数（k*x,k*y,k*x*y为整数即可）。由于k*N天使能赢k*f(N)恶魔，自然就有a个天使赢b个恶魔，于是b<=f(a) b/a<=f(a)/a
令N->∞，注意到此时b/N->k*(P-x) a/N->k*[1-2y*(P-x)] a->∞，从而
b/a=(b/N)/(a/N)->[k*(P-x)]/{k*[1-2y*(P-x)]} f(a)/a->P
即有[k*(P-x)]/{k*[1-2y*(P-x)]}<=P。完全类似地考虑k*N天使VSk*g(N)恶魔，又有
[k*(P-x)]/{k*[1-2y*(P-x)]}>=P
故[k*(P-x)]/{k*[1-2y*(P-x)]}=P。约掉k，得到
(P-x)/[1-2y*(P-x)]=P (*)
解之，舍去负根，得
P=[x+(x^2+2x/y)^1/2]/2=1.24795…
这就是我们寻求的答案，说明大天使单挑实力超出大恶魔近24.8%。
方程(*)可以这样理解：P是一个使恶魔和天使双方实力均衡的数量比，先假设N个天使和M个恶魔实力绝对均衡（那么P=M/N），那么经过一个回合后这个均衡不会被打破，否则最后会有一方胜出从而说明双方实力不均衡；经过一回合后恶魔数量b=M-x*N天使数量a=N-2y*(M-x*N)（亦不妨假定a,b都是整数否则可像上面一样同乘以k），由于双方实力依然均衡，故：
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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3 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
b/a=P=M/N (**)
化简即为(*)式；可以看出，经过若干回合双方的实力会一直保持均衡，直到最后双方数量同时为0；但实际上因攻击有先后，必然有一方数量先变为0，这说明假设的双方实力绝对均衡是不可能的（由此亦可看出P不可能是有理数），但这时(*)式仍然是成立的，因为由⑤我们可以用f(N)/N来充分逼近P，这时b/a也同样逼近P，双方极限相等，即可得出(*)式。这种求实力比的方法把它称作比值法。
上面6条就是理论的基础，其中叠加性原理又最为基础。可以推广到一般情况：两种兵种A与B，A对B的实力比记作P(A,B)，B对A的实力比记作P(B,A)，则P(B,A)=
1/P(A,B)，P(大天使,大恶魔)=1.24795…。
不完全符合6条的即不满足叠加性原理的例外也有不少，比如幽灵和桥梁怪这种单挑王子，1幽灵肯定能胜1皇家狮鹫，但是无法推出10幽灵胜10狮鹫；还比如1吸血伯爵无法胜1蛮牛，但是不能由此推出100吸血伯爵不能胜100蛮牛，事实上100吸血伯爵可以完胜100蛮牛（甚至完胜100独眼），理由后文详述。但是在这些例外情况下，
上面的理论仍然具有指导性意义：当N充分大时，一回合单个幽灵恢复hp对于自身实力的补充是微乎其微的，处理问题的时候可以理想化地将这点忽略，这样计算出来的P值虽然会有一定的误差但是不大，可以作为真实P值的一个近似值；考虑吸血伯爵的时候把吸血的特技考虑进去，计算出来的P值一样可作为近似值参考。这提示我们将兵种特技分为3类分别考虑：
a)：对兵种单挑实力构成重大影响的不能忽略的特技，具有这些特技的兵种单挑时必须考虑其特技因素。比如前面的大恶魔攻击不反击特技，还比如十字军的攻击两次特技、吸血伯爵的吸血特技等等，不一一列举；对于攻击两次、吸血、死亡凝视、火盾等等这些A类特技，比值法都是普遍适用的，只不过处理起来稍微复杂一点。
b)：对兵种单挑实力影响不大的可以忽略的或者考虑后将使问题变得异常复杂的特技，具有这些特技的兵种单挑时，为理想化和计算方便起见不妨将其特技忽略，计算出来的P值作为参考，采取理论和实践相结合的方式检验其实力。比如前面的大天使士气+1特技，士气为1只有1/24的士气高涨几率，一是影响不大，二是考虑将会使问题变得非常复杂，故不妨忽略。这类特技有很多，还比如幽灵桥梁怪的恢复hp特技、美杜莎的石化特技等等，不一一列举；
c)：对兵种单挑完全没有影响的可以直接忽略的特技，具有这些特技的兵种单挑时可以直接忽略其特技。这种情况我们只能说其实力不光体现在单挑方面，但本文只论述单挑实力，故恕不再讨论。这类特技也有很多，比如大天使的复活特技、黑龙的魔免特技、泰坦的免疫心智魔法特技等等，不一一列举。
以下是推广的几种一般情形，A代表速度更快的兵种，B代表慢速兵种，x和y的含义同上：
Ⅰ：AvsB，B一回合可攻击到A，A无a类特技，B有a类特技攻击不反击：
(P-x)/[1-2y*(P-x)]=P
P(A,B)=[x+(x^2+2x/y)^1/2]/2
这种情况较少，例如P(大天使,大恶魔)=1.24795…。
Ⅱ：AvsB，B一回合可攻击到A，AB均无a类特技：
{P-x-x[1-2y(P-x)]}/[1-2y*(P-x)]=P
P(A,B)=(x^2+x/y)^1/2
例如金龙vs黑龙，x=0.165 y=0.171 P(金龙,黑龙)=0.99606…，可见黑龙比金龙强一丁点，差距在4‰以内，这么微小的差距单纯用实验是很难得出结果的。
一回合之内先A攻击B反击再B攻击A反击，这4次攻击按照时间先后分别设为1,2,
3,4，A即为1+4攻击B为2+3攻击，通过等待A亦可选择2+3攻击。需要指出：A选择1+4
攻击比选择2+3攻击更有利。
若A一直选择1+4攻击，由上知P(A,B)=(x^2+x/y)^1/2；若A通过等待一直选择2+3攻击，将AB调换顺序应用上面结论得P(B,A)=(y^2+y/x)^1/2即P(A,B)=1/[(y^2+y/x)^1/2]。易见两种情况下的P(A,B)前者更大，即说明选择1+4攻击比选择2+3攻击更有利。这也体现了速度的优势。
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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4 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
Ⅲ：AvsB，B一回合可攻击到A，B无a类特技，A有a类特技攻击不反击：
{P-x-x[1-y(P-x)]}/[1-y*(P-x)]=P
P(A,B)=(x^2+2x/y)^1/2
这种情况也比较少。例如大恶魔vs黑龙，x=0.1225 y=0.208125 P(大恶魔,黑龙)=1.09187…。这种情况相当于A不具备不反击特技但y要减半的情形Ⅱ。
Ⅳ：AvsB，B一回合不能攻击到A，AB均无a类特技：
这种情况非常具有普遍性。由于B一回合不能攻击到A，故总有某个回合A能攻击B而B却不能，A通过等待就能减少B的一次先攻机会，显然P(A,B)值会增大。
假设双方实力均衡，数量为N,M，某个回合A能攻击B而B却不能，A等待后攻击B反击，回合结束，双方剩余数量N\'=N-y*(M-x*N),M\'=M-x*N。抛开A的速度远大于B使得A能移开后再次等待这种少数情形[注4]，双方将转化为情形Ⅱ。从而有M\'/N\'=P\'=(x^2+x/y)^1/2，解之：
M/N=x+1/(y+1/P\')
P(A,B)=x+1/(y+1/P\') 其中P\'=(x^2+x/y)^1/2
易证P(A,B)>P\'，这也证实了P(A,B)值确实会增大。例如大天使vs比蒙巨兽，比蒙巨兽虽有a类特技忽视80%防御但只影响y值不影响结论，x=31/120 y=0.264 P\'=1.02238… P(大天使,比蒙巨兽)=1.06341…。
Ⅴ：AvsB，B一回合不能攻击到A，B无a类特技，A有a类特技攻击不反击：
与情形Ⅳ一样，A亦可通过等待减少B的一次先攻机会，且因A攻击不反击，P值的增大更明显。
假设双方实力均衡数量为N,M，某个回合A能攻击B而B却不能，A等待后攻击，回合结束，双方剩余数量N\'=N,M\'=M-x*N。抛开A的速度远大于B的少数情形，双方将转化为情形Ⅲ。解之：
P(A,B)=x+(x^2+2x/y)^1/2
例如大恶魔vs比蒙巨兽，x=0.1575 y=0.34 P(大恶魔,比蒙巨兽)=1.13283…。
远程兵种作为一类特殊兵种是不能不单独考虑的。远程射击显然是a类特技，但远程兵种的战略价值不在于单挑，而且很多远程兵种远程伤害减半近战伤害亦减半，单挑未免有失公平，但目前没有更好的办法，而且部分远程兵种单挑实力亦不俗例如泰坦。远程兵种单挑有其特殊性，稍加讨论如下：
B是远程：A如果一回合攻击不到B就要先等待以尽量避免B射全箭；
A是远程：A速度最快不过泰坦的11，因此B一回合无法攻击到A，A应该等待后射全箭。例外情况是泰坦vs绿龙，泰坦等待之后绿龙往前飞两格就能使泰坦射击减半且下回合能够攻击到泰坦；
A,B都是远程：直接对射就是。问题在于双方数量N,M充分大时回合数将会足够长——箭枝会射完然后双方只能近战。这显然有违初衷，两个远程兵种单挑比拼的是远程射击能力而不是近战能力，解决办法是假定双方箭枝无限或者直接给双方都装备弹药车且规定弹药车不受攻击。其实远程兵种一般都有24枝箭，能持续24回合的N,M都很大，M/N已能足够近似P值。
最后要指出的是：P不具备传递性，即P(A,C)=P(A,B)*P(B,C)一般不成立。随便举几个例子就能验证这一点。甚至会出现P(A,B)和P(B,C)均大于1但P(A,C)小于1的情形，这时A胜BB胜CC胜A，三者形成一个圈：假设A是高速飞行兵种，B是远程兵种速度次之，C是近战实力型兵种速度最慢，A凭借高速克制B，B凭借远程克制C，C凭借近战实力克制A。
例如A神怪、B祭司、C树妖：
神怪Att/Def/Dmg/hp/sp：12/12/13-16/40/11
祭司Att/Def/Dmg/hp/sp：12/10/10-12/30/7
树妖Att/Def/Dmg/hp/sp： 9/12/10-14/65/4
神怪vs祭司：祭司有a类特技近战不减。x=15.95/30 y=0.275
第1回合神怪等待。P/(1-0.5y*P)=(x^2+x/y)^1/2 P(A,B)=1.23569…
祭司vs树妖：x=11/65 y=0.39
前3回合祭司均等待后射击，树妖分别前进3,4,4格。第4回合祭司直接射击，树妖攻击遭反击。第5回合为情形Ⅱ。{P-3.5x-x*[1-y*(P-3.5x)]}/[1-y*(P-3.5x)]=(x^2+x/y)^1/2 P(B,C)=1.23031…
神怪vs树妖：x=2.9/13 y=0.2775
注意树妖缠绕，直接归为情形Ⅳ。P(A,C)=0.95846…
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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5 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
在开始最终测试之前，说明测试的环境：
游戏版本SOD3.1，测试兵种双方的英雄均为初始元素使不带魔法书，除一方带压抑精灵和邪恶沙漏外没有其它宝物，沙漠地形，战场无特殊障碍。为避免伤害波动，用修改器把每个兵种的伤害固定为平均值，平均值为半整数例如2.5的情形取成2-3。
双方兵种速度如相同，如果双方同为近战（远程）兵种又无其它a类特技，可以直接比较x和y的值，显然谁大谁更强；如果一方是近战一方是远程兵种，不论是哪一方先动，由兵种行动顺序规律，只要它不等待，就会一直先行动，显然为了保持先攻的优势它不会选择等待，因此可以先假定A一直先动不等待，算出P(A,B)，再假定B一直先动不等待，算出P\'(B,A)，P和P\'谁大即谁更强。
如果出现上面所述的圈的情形，做出单独说明。另外本文只研究同等级兵种的单挑，中立兵种依照周产量归入相应等级，跨等级实力相近的兵种单挑只是少数情况，恕不再讨论。
注1：这里的士气和运气指的是外部因素，比如地形和访问建筑带来的士气和运气影响、英雄率领同族部队士气+1等等，而对于兵种自身特技带来的士气和运气影响即兵种自身因素不能忽略，比如天使的士气+1，骨龙的士气-1等等。不过在后面的讨论中，将此类特技归为b类特技，实际上还是忽略了的。
注2：关于叠加性原理可以这样证明：n个天使和m个恶魔，记第k个回合恶魔与天使的数量比（不满血的那个按比例写成分数）为dk，则{dk}必定严格单调，单减为天使赢，单增即恶魔赢。{dk}的单调性只与初值d0=m/n的大小有关（实际上是与d0和P的大小关系有关），如果n个天使赢m个恶魔，t个天使赢s个恶魔，由于(m+s)/(n+t)介于m/n与s/t之间，而d0=s/t和d0=m/n都使得数量比单减，从而d0=(m+s)/(n+t)也使得数量比单减，即(n+t)个天使赢(m+s)个恶魔。
注3：n1,n2,…,nk中的1,2,…,k都是下标，表示第1,2,……,k个数，下面的ni,mj,uj,vj,dk也是如此。
注4：不难证明：A每次攻击完之后能移动开再次等待的充要条件是：
(1) sp(A)>=2sp(B)+1；
(2) sp(B)<=4；或者B是sp(B)=5的单格兵A是sp(A)>=17的单格兵；或者B是sp(B)
=5的双格兵A是sp(A)>=19的单格兵。
由于速度不小于17的单格兵只有大恶魔，而在七级兵中没有速度为5的单格兵，所以本文的同级兵单挑只用考虑sp(A)>=2sp(B)+1且sp(B)<=4的情形，这种情形相当于B一回合能攻击到A且A,B都拥有攻击不反击的特技，每回合双方都只攻击一次。
纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名（二）：一级兵单挑排名
所有一级兵一览：
兵种 Att/Def/Dmg/hp/sp
Pikeman 4/5/1-3/10/4
Halberdier 6/5/2-3/10/5
Centaur 5/3/2-3/8/6
Centaur Captain 6/3/2-3/10/8
Gremlin 3/3/1-2/4/4
Master Gremlin 4/4/1-2/4/5
Imp 2/3/1-2/4/5
Familiar 4/4/1-2/4/7
Skeleton 5/4/1-3/6/4
Skeleton Warrior 6/6/1-3/6/5
Troglodyte 4/3/1-3/5/4
Infernal Troglodyte 5/4/1-3/6/5
Goblin 4/2/1-2/5/5
Hobgoblin 5/3/1-2/5/7
Gnoll 3/5/2-3/6/4
Gnoll Maruader 4/6/2-3/6/5
Pixie 2/2/1-2/3/7
Sprite 2/2/1-3/3/9
Peasant 1/1/1/1/3
Halfing 4/2/1-3/4/5
(1) Centaur Captain
凭借一级兵中最高的攻、伤、血和第二的速度，半人马队长险胜实力相近的戟兵，取得榜首位置，最高的招募费用也体现出其实力。
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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6 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
半人马队长vs戟兵 情形Ⅳ x=0.2625 y=0.2875 P(半人马队长,戟兵)=1.03371…
(2) Halberdier
戟兵拥有一级兵中最高的攻、伤、血和第二的防，且它和半人马队长的hp遥遥领先于其它兵种，两者毫无争议地占据前两名的位置，可惜它速度大大不如半人马队长以至于在榜首争夺战中失败，并且很多时候因此吃亏。
(3) Centaur
没有升级的半人马依然拥有8的hp，2-3的Dmg和6的速度，胜出枪兵但败于戟兵，位列第三。
半人马vs枪兵 情形Ⅳ x=0.25 y=0.2625 P(半人马,枪兵)=1.04672…
半人马vs戟兵 情形Ⅳ x=0.25 y=0.359375 P(半人马,戟兵)=0.91319…
(4) Sprite
大大令人吃惊的是精灵排到了第四，它凭借一级兵中最高的速度和攻击不反击很大程度上弥补了实力的不足，对于高级狼头怪以下的兵种都能胜出，对于速度只有4的枪兵只需利用速度优势多打2次就能胜出，可惜面对半人马和戟兵时实力差距过于悬殊终落败。
精灵vs戟兵 情形Ⅴ x=0.185 y=1 P(精灵,戟兵)=0.82078…
精灵vs半人马 情形Ⅴ x=0.24375 y=2.875/3 P(精灵,半人马)=0.99748…
精灵vs高级狼头怪 情形Ⅴ x=0.3 y=2.75/3 P(精灵,高级狼头怪)=1.16287…
(5) Halfing
又是令人吃惊的结果。半身人排名第五很大程度上依靠了一级兵普遍不高的速度。
半身人vs枪兵 x=0.195 y=0.55 注意到半身人远程减半，近战亦减半，枪兵速度只有4，分别前进3,4,4格，P=3.5x+1/[y+1/(x/2+A)] A=[(x/2)^2+x/2y]^1/2=0.4321
7… P(半身人,枪兵)=1.09268…
半身人vs高级狼头怪 两者速度相同，假定半身人一直先动不等待，x=1.9/6 y=0.6875 高级狼头怪分别前进3,5,5格，P=2x+1/[y+1/(x/2+A)] A=[(x/2)^2+x/2y]^1/2=0.50534… P(半身人,高级狼头怪)=1.08906…；再假定高级狼头怪一直先动不等待，x=0.6875 y=1.9/6 P\'=1/(1.5y+1/A) A=(x^2+2x/y)^1/2=2.19425… P\'(高级狼头怪,半身人)=1.07441…。P>P\'，故半身人胜出；
半身人vs大妖精 双方都是远程速度相同，x=0.5 y=0.4125 x>y，故半身人胜出；
半身人vs精灵 x=0.5 y=2.2/3 精灵先等待，P=1/(0.5y+1/A) A=(x^2+2x/0.5y)^1/2=1.72547… P(精灵,半身人)=1.05864…
半身人vs小精灵 x=0.375 y=2.2/3 小精灵先等待，P=1/(0.5y+1/A) A=(x^2+x/0.5y)^1/2=1.07858… P(小精灵,半身人)=0.77291…
半身人vs戟兵 假定半身人一直先动都有P<1；半身人vs半人马 更加不用多说。
此外半身人还有特技幸运，对半身人自身实力会有微小提升。
(6) Pikeman
枪兵和戟兵一样拥有10的hp，可惜Dmg低了而且速度少了1点，因此大大吃亏，被精灵和半身人超过，好在对高级狼头怪和大妖精保持优势，稳住了第六的位置。
枪兵vs高级狼头怪 情形Ⅳ x=0.24375 y=1.9/6 P(高级狼头怪,枪兵)=0.95052…
枪兵vs大妖精 x=0.14625 y=0.5 类似半身人vs枪兵，P(大妖精,枪兵)=0.88749…
(7) Gnoll Maruader
高级狼头怪拥有一级兵中最高的防、伤，可惜hp少了一些，败于精灵、半身人和枪兵，只能排第七。
(8) Skeleton Warrior
骷髅战士的攻防都是一级兵中最高的，不过hp少了一些，伤也低了点，在高级狼头怪后。
骷髅战士vs高级狼头怪 双方速度相同，x=1/3 y=2.375/6 x<y，故高级狼头怪胜出。
(9) Infernal Troglodyte
恶魔穴居人和骷髅战士、高级狼头怪都有6的hp和5的速度，但指数明显不如骷髅战士，不过依然胜出大妖精，位列第九。
恶魔穴居人vs大妖精 假定大妖精一直先动，x=0.25 y=0.525 P=0.97268…<1。
(10) Master Gremlin
大妖精和半身人速度和hp相同，但因MaxDmg低了1导致排名大大退后，只能排第十。
大妖精vs狼头怪 x=0.24375 y=0.609375 类似半身人vs枪兵，P(大妖精,狼头怪)=1.28460…
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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7 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
大妖精vs大耳怪 假定大耳怪一直先动，x=0.375 y=0.33，P=0.87818…<1
大妖精vs小精灵 类似半身人vs小精灵 x=0.35625 y=0.55 P(小精灵,大妖精)=0.89808…
(11) Gnoll
狼头怪和高级狼头怪一样有2-3的Dmg和6的hp，不过速度少了1点，排名也大大下降，落后于恶魔穴居人，且被大妖精超出。
狼头怪vs恶魔穴居人 情形Ⅳ x=1/3 y=0.40625 P(恶魔穴居人,狼头怪)=1.02667…
(12) Skeleton
骷髅的情况和狼头怪类似，不过伤仍旧不如狼头怪，还是位列狼头怪之后。
(13) Hobgoblin
大耳怪王自身实力很差，唯一可以依赖的就是7的速度，综合实力介于骷髅和穴居人之间。值得一提的是这里出现了圈：大耳怪王凭借7的速度胜出半身人和大妖精。
大耳怪王vs骷髅 情形Ⅳ x=0.2625 y=0.44 P(大耳怪王,骷髅)=0.86280…
大耳怪王vs穴居人 情形Ⅳ x=0.33 y=0.42 P(大耳怪王,穴居人)=1.00692…
(14) Troglodyte
穴居人与骷髅的Dmg和速度相同，不过hp比恶魔穴居人少了1，不仅落后于骷髅，也被大耳怪王超过。
(15) Familiar
魔怪自身实力实在太差了，虽然和大耳怪王有一样的伤和速度，攻防也很接近，但是hp少了1，导致连穴居人也拼不过。不过和大耳怪王同样出现了圈：魔怪依然能胜半身人和大妖精。
魔怪vs穴居人 情形Ⅳ x=0.315 y=0.5 P(魔怪,穴居人)=0.91343…
魔怪vs半身人 类似半身人vs小精灵 x=0.4125 y=0.5 P(魔怪,半身人)=1.00886…
(16) Goblin
大耳怪没了大耳怪王的速度，实力只能倒数。
大耳怪vs穴居人 情形Ⅳ x=0.315 y=0.44 P(大耳怪,穴居人)=0.96115…
大耳怪vs魔怪 情形Ⅳ x=0.33 y=0.375 P(魔怪,大耳怪)=1.05432…
(17) Imp
恶魔之子属性显然不如大耳怪，也是倒数的角色，好在凭借速度优势胜了小妖精。
恶魔之子vs小妖精 情形Ⅳ x=0.365625 y=0.375 P(恶魔之子,小妖精)=1.12050…
(18) Gremlin
不会远程射击的小妖精不是一般的差，恶魔之子也拼不过，只能和小精灵比了。
小妖精vs小精灵 情形Ⅳ x=0.365625 y=0.525 P(小精灵,小妖精)=0.98193…
(19) Pixie
小精灵和精灵真是天壤之别，没了精灵的攻击不反击特技，小精灵只能靠欺负农民出气。令人意外的是这里也出现了圈，而且不是高速-远程-慢速的圈，而是三个近战兵种的圈：小精灵胜恶魔之子。
小精灵vs恶魔之子 情形Ⅳ x=0.365625 y=0.5 P(小精灵,恶魔之子)=1.00044…
恶魔之子和小妖精相比攻少1，这点实力上的劣势可以用速度来弥补，因此恶魔之子胜小妖精；小精灵对它们两个都有速度优势，对小妖精速度优势并不足以弥补实力上的差距，但对自身实力稍逊的恶魔之子就能弥补了，因此小精灵负小妖精但胜恶魔之子，这就是圈形成的原因。不过小精灵和恶魔之子的实力差距小于0.5‰，可以忽略不计，小精灵还是排倒数第二。
这里也可看到，0.5‰的差距单用实验根本无法得出。
(20) Peasant
不用多说。
总体来说，一级兵之间的实力差距还是很明显的，1hp/1Dmg/1sp的差异都能造成实力上的大差距。最终排名如下：
(01) Centaur Captain
(02) Halberdier
(03) Centaur
(04) Sprite
(05) Halfing
(06) Pikeman
(07) Gnoll Maruader
(08) Skeleton Warrior
(09) Infernal Troglodyte
(10) Master Gremlin
(11) Gnoll
(12) Skeleton
(13) Hobgoblin (>(05)Halfing & (10)Master Gremlin)
(14) Troglodyte
(15) Familiar (>(05)Halfing & (10)Master Gremlin)
(16) Goblin
(17) Imp
(18) Gremlin
(19) Pixie (>(17)Imp)
(20) Peasant
所有二级兵一览：
兵种 Att/Def/Dmg/hp/sp
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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8 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
Archer 6/3/2-3/10/4
Marksman 6/3/2-3/10/6
Dwarf 6/7/2-4/20/3
Battle Dwarf 7/7/2-4/20/5
Stone Gargoyle 6/6/2-3/16/6
Obsidian Gargoyle 7/7/2-3/16/9
Gog 6/4/2-4/13/4
Magog 7/4/2-4/13/6
Walking Dead 5/5/2-3/15/3
Zombie 5/5/2-3/20/4
Harpy 6/5/1-4/14/6
Harpy Hag 6/6/1-4/14/9
Wolf Rider 7/5/2-4/10/6
Wolf Raider 8/5/3-4/10/8
Lizardman 5/6/2-3/14/4
Lizard Warrior 6/8/2-5/15/5
Air Elemental 9/9/2-8/25/7
Storm Elemental 9/9/2-8/25/8
Rogue 8/3/2-4/10/6
Boar 6/5/2-3/15/6
最终排名（过程和评价未完成，省略）：
(01) Storm Elemental
(02) Air Elemental
(03) Harpy Hag
(04) Wolf Raider
(05) Battle Dwarf
(06) Obsidian Gargoyle (>(04)Wolf Raider)
(07) Lizard Warrior
(08) Marksman (>(05)Battle Dwarf)
(09) Boar (>(07)Lizard Warrior & (08)Marksman)
(10) Magog
(11) Dwarf (>(06)Obsidian Gargoyle & (09)Boar)
(12) Zombie (>(09)Boar)
(13) Stone Gargoyle (>(09)Boar)
(14) Harpy
(15) Gog (>(11)Dwarf & (12)Zombie)
(16) Wolf Rider (>(15)Gog)
(17) Lizardman (>(11)Dwarf)
(18) Walking Dead (>(16)Wolf Rider)
(19) Rogue
(20) Archer (>(18)Walking Dead)
所有七级兵一览：
兵种 Att/Def/Dmg/hp/sp
Angel 20/20/50/200/12
Archangel 30/30/50/250/18
Green Dragon 18/18/40-50/180/10
Gold Dragon 27/27/40-50/250/16
Giant 19/16/40-60/150/7
Titan 24/24/40-60/300/11
Devil 19/21/30-40/160/11
Arch Devil 26/28/30-40/200/17
Bone Dragon 17/15/25-50/150/9
Ghost Dragon 19/17/25-50/200/14
Red Dragon 19/19/40-50/180/11
Black Dragon 25/25/40-50/300/15
Young Behemoth 17/17/30-50/160/6
Ancient Behemoth 19/19/30-50/300/9
Hydra 16/18/25-45/175/5
Chaos Hydra 18/20/25-45/250/7
Firebird 18/18/30-40/150/15
Phoenix 21/18/30-40/200/21
(1) Archangel
七级兵中最高的攻防、伤和速度，大天使拥有无可匹敌的超卓实力，无可争议的王者。最高的招募费用也完全体现了它的实力。此外它还拥有b类特技士气+1和c类特技复活，更进一步提升了其实力和战略价值。
大天使vs大恶魔 x=0.4 y=0.189 情形Ⅰ P(大天使,大恶魔)=1.24795…
大天使vs泰坦 x=65/300 y=0.17 情形Ⅱ P(大天使,泰坦)=1.14954…
大天使vs比蒙巨兽 x=31/120 y=0.264 情形Ⅳ P(大天使,比蒙巨兽)=1.06341…
大天使vs黑龙 x=62.5/300 y=0.1575 情形Ⅱ P(大天使,黑龙)=1.16882…
大天使vs金龙 x=0.23 y=0.1665 情形Ⅱ P(大天使,金龙)=1.19761…
(2) Arch Devil
华丽的大恶魔，凶悍的大恶魔，充满邪恶之美的大恶魔。仅次于大天使的速度和攻防和，以及攻击不反击的特技让它傲视群雄、几乎无敌于天下，可惜碰上了死对头大天使，始终被压制永无出头之日，只能一人之下、万人之上了。
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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9 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
大恶魔vs泰坦 x=38.5/300 y=0.225 情形Ⅲ P(大恶魔,泰坦)=1.07573…
大恶魔vs比蒙巨兽 x=0.1575 y=0.34 情形Ⅴ P(大恶魔,比蒙巨兽)=1.13283…
大恶魔vs黑龙 x=0.1225 y=.208125 情形Ⅲ P(大恶魔,黑龙)=1.09187…
大恶魔vs金龙 x=0.1365 y=0.219375 情形Ⅲ P(大恶魔,金龙)=1.12386…
大恶魔败于大天使的根本原因是什么？血少？憎恶加大大天使先攻优势？其实这些原因都只是次要的，根本原因是大恶魔速度落后于大天使，攻击不反击是非常好的特技，速度落后于大天使使得特技无法充分发挥导致落败。
大天使vs大恶魔，假若无憎恶，x=0.275 y=0.126 P=1.19114…
假若大恶魔的血提高到220，x=4/11 y=0.189 P=1.17934…
假若双方速度互换，x=0.189 y=0.4 P=0.99031… 已经很接近1了。
(3) Titan
七级兵中唯一的远程，最高的伤和血，近战不减，负大天使和大恶魔，但专克愈强则强的比蒙巨兽，位列第三。
泰坦vs比蒙巨兽 x=62.5/300 y=70/300 泰坦第一回合wait，P(泰坦,比蒙巨兽)=1.33941…
泰坦vs金龙 x=0.1725 y=0.185 情形Ⅱ P(金龙,泰坦)=0.98091…
(4) Ancient Behemoth
忽略防御的特技使得比蒙巨兽成为愈强则强的杀手，但无奈负于大天使的超卓实力、大恶魔的攻击不反击和泰坦的远程射击近战不减，只能位居第四。但极其低廉的
招募费用使得它成为毫无疑问的性价比之王。
比蒙巨兽vs黑龙 x=0.195 y=68/300 情形Ⅳ P(黑龙,比蒙巨兽)=0.97518…
比蒙巨兽vs金龙 x=0.21 y=0.272 情形Ⅳ P(金龙,比蒙巨兽)=0.93521…
(5) Black Dragon
在双龙之争中黑龙凭借超厚的血力压金龙，位居第五。注意这里又出现了圈，凭借憎恶加大先攻优势，黑龙以微弱优势险胜泰坦。
黑龙vs金龙 x=0.165 y=0.171 情形Ⅱ P(金龙,黑龙)=0.99606…
黑龙vs泰坦 x=0.2325 y=0.24375 情形Ⅱ P(黑龙,泰坦)=1.00394…
假若无憎恶，x=0.1575 y=0.1625 P=0.99701…
(6) Gold Dragon
金龙自身的攻防和速度都不错，可惜血太单薄了一点，即便对黑龙拥有速度优势依然落败。
(7) Chaos Hydra
拥有b类特技不反击和c类特技环击的混乱九头蛇，伤与大恶魔持平，血更是大大超过，可惜攻防和速度差得太多，导致特技不能充分发挥，在顶级兵之中只能沦为二线。
混乱九头蛇vs金龙 x=0.243 y=0.1085 金龙首回合wait P(金龙,混乱九头蛇)=1.29430……
(8) Angel
纵使未升级，天使和大天使同样的伤也为其带来了可观的实力，使其超越了凤凰幽灵龙之流排名第8，可惜惜败于混乱九头蛇（混乱九头蛇毕竟是升级七级兵啊）。b类特技士气+1还能略微提升其实力。
天使vs混乱九头蛇 x=0.2 y=0.16625 天使首回合wait P(天使,混乱九头蛇)=0.96919……
(9) Devil
同大天使&天使类似，恶魔从大恶魔那里继承了完整的伤和b类特技不反击，其处境也很相似，由于速度也不如天使导致被死死压制（恶魔一族长叹：既生瑜何生亮！）。11的尴尬速度使其面对天使凤凰幽灵龙首回合都无法攻击只能减少一次先攻机会，不过还是超越了凤凰幽灵龙。更有一点值得一提的是，凭借特技，恶魔击败了同样特技速度却不如它的混乱九头蛇，这可是天使无法比拟的。
恶魔vs天使 x=0.45703125 y=0.2559375 天使首回合wait P(天使,恶魔)=1.37546……
恶魔vs混乱九头蛇 x=0.1365 y=0.20234375 恶魔首回合多打一次，以后回合相当于恶魔不具备不反击特技但y减半的情形Ⅰ P(恶魔，混乱九头蛇)=1.02891……
(10) Red Dragon
比凤凰幽灵龙高得多的伤使红龙依然能够凌驾于两者之上。和恶魔速度相同但无不反击特技，落败于恶魔。
红龙vs恶魔 若红龙先攻 x=0.2671875 y=35/180 情形Ⅰ P(红龙,恶魔)=0.97317……<1
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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10 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
(11) Phoenix
优缺点都很明显的兵种，低下的攻防伤血使其实力低下，被天使恶魔红龙超越；但低廉的招募费用双倍产量和高达21的第一速度外加火免龙息特性使得其性价比极为出色。b类特技20%复活进一步提升了其实力。
凤凰vs混乱九头蛇 x=0.147 y=0.175 凤凰首回合wait P(凤凰,混乱九头蛇)=0.79094 5000同等数量实测，实力差距悬殊，第5回合结束凤凰死完，重生20%，混乱九头蛇剩56%以上。第7回合重生死完，混乱九头蛇剩近53%。
凤凰vs天使 x=0.18375 y=0.275 情形Ⅱ P(凤凰,天使)=0.83782…… 5000同等数量实测，实力差距悬殊，第3回合结束凤凰死完，重生20%，天使还剩一半以上。第4回合重生的也死光，天使还剩接近一半。
凤凰vs红龙 x=38.5/180 y=0.23625 情形Ⅱ P(凤凰,红龙)=0.97524…… 5000同等数量实测，第5回合结束凤凰死完，重生20%，红龙还剩近22%，第9回合凤凰攻击遭反击死完，红龙还剩接近10%。
凤凰vs恶魔 x=0.21875 y=0.18375 凤凰首回合wait P(凤凰,恶魔)=0.98262……
5000同等数量实测，第9回合凤凰攻击遭反击死完，第15回合凤凰攻击遭反击重生死完，恶魔还剩接近6%。但如果第9回合凤凰wait等待恶魔把它打死的话就可以赢，最后剩余接近233%（不过这对恶魔也嫌不公平了些……）
(12) Ghost Dragon
虽然有老化特技，但过低的属性值导致幽灵龙在升级七级兵只能排名最末。
幽灵龙vs凤凰 x=0.21 y=0.196875 情形Ⅱ P(凤凰,幽灵龙)=1.05392…
这只是理论结果。实际上凤凰具有b类特技复活20%，幽灵龙具有b类特技20%几率老化，情况很复杂。5000同等数量数量测试20次，凤凰胜出14次，凤凰胜出的几率很大（当然测试的随机性无法排除），幽灵龙胜出的6次都是因为老化出的早。实际上前三次攻击（包括反击）不出老化的话幽灵龙就只剩一半，就不可能获胜了，即便第四次出老化都无法打过复活的20%凤凰。前三次出老化的几率只有1-(1-20%)^3=48.8%，由此可以判定凤凰强于幽灵龙。凤凰的战略价值显然也比幽灵龙高得多。另外幽灵龙的士气-1对其实力会有微小提升。
幽灵龙vs混乱九头蛇 x=0.14625 y=0.18375 幽灵龙首回合wait P(幽灵龙,混乱九头蛇)=0.77289…
5000同等数量实测，实力差距悬殊，即使首次攻击出老化，只要不出现持续老化，第4回合老化解除，都是混乱九头蛇胜出；如果幽灵龙第2次攻击才出老化，就算持续老化，都是混乱九头蛇赢。
幽灵龙vs天使 x=0.1828125 y=0.2875 情形Ⅱ P(幽灵龙,天使)=0.81810……
5000同等数量实测，实力差距悬殊，不出老化3回合幽灵龙就死完，除非首次攻击出老化而且持续老化，幽灵龙才能赢。
幽灵龙vs红龙 x=37.5/180 y=0.2475 情形Ⅱ P(幽灵龙,红龙)=0.94082……
同幽灵龙vs凤凰一样，前三次攻击不出老化的话幽灵龙就只剩一半不到，第4次出老化也胜不了。而前三次出老化的几率只有48.8%。
幽灵龙vs恶魔 x=0.22265625 y=0.1925 幽灵龙首回合wait P(幽灵龙,恶魔)=0.97511……
这个也是几率问题。前4次攻击出老化幽灵龙才能赢，第5次出老化都胜不了。前4次出老化的几率是1-(1-20%)^4=59.04%。
(13) Green Dragon
虽然金龙黑龙的属性各有优劣，但绿龙的属性却全面落后于红龙，不仅攻防都差1，更重要的是速度差1，导致对凤凰幽灵龙时首回合无法攻击减少一次宝贵的先攻机会，无法像红龙一样超越两者，只能排第13。
绿龙vs凤凰 x=40.25/180 y=0.225 情形Ⅳ P(凤凰,绿龙)=1.05432……>1
绿龙vs幽灵龙 x=0.21875 y=0.23625 情形Ⅳ P(幽灵龙,绿龙)=1.01899……>1
(14) Giant
尽管泰坦在七级兵中名列前茅，但巨人和泰坦的属性差别实在太大了，除了伤，其它都难如人意，排名只能靠后。
巨人vs绿龙 x=0.33 y=7/24 x>y
(15) Young Behemoth
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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11 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
类似于泰坦&巨人，远古巨兽到巨兽的属性下降也同样相当巨大，而且巨兽依然被巨人压制（同样是巨，兽还是不如人厉害啊！），只能排第15。
巨兽vs绿龙 x=0.2953125 y=0.3 情形Ⅳ P(绿龙,巨兽)=1.085188……
巨兽vs巨人 x=0.34375 y=56/150 情形Ⅳ P(巨人,巨兽)=1.08207……
(16) Hydra
血少速度又太低，无论是在七级兵还是所有不反击兵种中都是倒数第一，有好特技也是白搭，最终排名倒数第三。
九头蛇vs绿龙 x=9/35 y=33.25/180 首回合绿龙wait，再转化为情形Ⅰ P(绿龙,九头蛇)=1.08169……
九头蛇vs巨人 x=0.3 y=7/30 类似上面情形 P(巨人,九头蛇)=1.08811……
九头蛇vs巨兽 x=54/175 y=0.21328125 类似上面 P(巨兽,九头蛇)=1.14543……
(17) Firebird
与凤凰相比，火鸟的血少了50，与巨人骨龙一起在七级兵中同为最少，伤害又不出众，只能力压骨龙排名倒数第二。不过它也完全继承了凤凰的优点：廉价高速火免龙息，性价依然十分出色。
火鸟vs绿龙 x=35/180 y=0.3 情形Ⅳ P(火鸟,绿龙)=0.85783……
火鸟vs巨人 x=38.5/150 y=0.35 情形Ⅳ P(火鸟,巨人)=0.93759……
火鸟vs巨兽 x=0.2296875 y=0.36 情形Ⅳ P(火鸟,巨兽)=0.86940……
火鸟vs九头蛇 x=0.2 y=133/600 首回合火鸟wait P(火鸟,九头蛇)=0.86433……
火鸟vs骨龙 x=161/600 y=0.24375 x>y
(18) Bone Dragon
七级兵中最低的血，攻防指数还不如手下恐怖骑士，重演僵尸攻防不及骷髅战士一幕。评价也和僵尸一样，垃圾。
总体来看，七级兵和六级兵的实力衔接还算接近。从榜首到末尾，由于属性的差距巨大，依旧呈现出了巨大的实力差距。招募费用也能大致反映出各自的实力，但也涌现出了比蒙巨兽和凤凰火鸟这些高性价比的兵种。顶级兵最终排名如下：
(01) Archangel
(02) Arch Devil
(03) Titan
(04) Ancient Behemoth
(05) Black Dragon (>(03)Titan)
(06) Gold Dragon
(07) Chaos Hydra
(08) Angel
(09) Devil (>(07)Chaos Hydra)
(10) Red Dragon
(11) Phoenix
(12) Ghost Dragon
(13) Green Dragon
(14) Giant
(15) Young Behemoth
(16) Hydra
(17) Firebird
(18) Bone Dragon
把这一章放到最后是避免引起大家的厌烦。如对推导过程不感兴趣，请跳过直接看最后的推导结果。
在第一章的理论基础中我们首先用极限定义了实力比的概念，再提出了叠加性原理，并通过叠加性原理证明了定义的合理性（极限的存在性），然后通过比值法求出了大天使与大恶魔的实力比。在这一章中我们要通过更进一步的推导，推出n回合兵种剩余数量估计公式。
还是首先以大天使和大恶魔为例。考虑更为一般的大天使和大恶魔数量不同的情形。设双方的初始数量分别为a0,b0。经过n回合（n小于使单挑结束的总回合数N）后双方的数量分别为an,bn（不满血的那个按比例写成分数）。x,y的定义同第一章：x=0.4,y=0.189。要求an,bn的值，先要导出an,bn与a(n+1),b(n+1)之间的递归公式。通过对第n+1个回合的分析，不难得出它们之间存在下面的递归公式[注5]：
b(n+1)=bn-x*]an[ ⑴
a(n+1)=an-2y*]b(n+1)[ ⑵
其中函数]an[表示不小于an的最小整数。即有：
]x[-1<x<=]x[, x<=]x[<x+1
]x[与取整函数[x]之间存在如下关系：
]x[=-[-x]
由于函数]x[的存在，使递归公式处理起来很棘手。为方便并简化推导过程，把
]x[近似处理成x，得到下面的近似递归公式：
b(n+1)=bn-x*an ⑶
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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12 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
a(n+1)=an-2y*b(n+1) ⑷
这样递归公式就成线性的了。根据⑷可得：
2y*b(n+1)=an-a(n+1) ⑸
2y*b(n)=a(n-1)-an ⑹
两式相减并根据⑶式得：2xy*an=a(n-1)-2*an+a(n+1)。即数列{an}的递归公式：
a(n+1)-2(1+xy)*an+a(n-1)=0 ⑺
完全类似不难得到数列{bn}的递归公式：
b(n+1)-2(1+xy)*bn+b(n-1)=0 ⑻
⑺,⑻都是二阶齐次递归方程。存在同样的特征方程：
c^2-2(1+xy)*c+1=0
两特征根为c1=(1+xy)+[(1+xy)^2-1]^(1/2),c2=(1+xy)-[(1+xy)^2-1]^(1/2)。于是{an}{bn}的通项公式可以写成[注6]：
an=u1*c1^n+u2*c2^n
bn=v1*c1^n+v2*c2^n
其中u1,u2,v1,v2都是待定参数，由{an}{bn}的初值所决定。
为简化通项公式，引入双曲正弦函数shx和双曲余弦函数chx：
shx=[e^x-e^(-x)]/2 chx=[e^x+e^(-x)]/2 e^x=shx+chx e^(-x)=chx-shx
并记α=ln{(1+xy)+[(1+xy)^2-1]^(1/2)}，ln为以e为底的自然对数。于是
c1=e^α c2=e^(-α)
从而{an}的通项公式可以改写成：
an=u1*e^(α*n)+u2*e^(-α*n)
=u1*[sh(αn)+ch(αn)]+u2*[ch(αn)-sh(αn)]
=(u1-u2)*sh(αn)+(u1+u2)*ch(αn)
类似可得bn=(v1-v2)*sh(αn)+(v1+v2)*ch(αn)。只需根据初值求出u1-u2,u1+u2,
v1-v2,v1+v2即可。
由⑶⑷可得：a1=(1+2xy)*a0-2y*b0,b1=b0-x*a0。再在an的通项公式中分别令n=0和1，并由sh0=0,ch0=1,shα=[(1+xy)^2-1]^(1/2),chα=1+xy得到：
u1+u2=a0
(u1-u2)*[(1+xy)^2-1]^(1/2)+(u1+u2)*(1+xy)=(1+2xy)*a0-2y*b0
解之得u1+u2=a0,u1-u2=(xy*a0-2y*b0)*[(1+xy)^2-1]^(-1/2)。类似求得v1+v2=b0,
v1-v2=(-xy*b0-x*a0)*[(1+xy)^2-1]^(-1/2)。
于是得到由递归公式⑶⑷和初值a0,b0决定的数列{an}{bn}的最终通项公式：
an=(xy*a0-2y*b0)*[(1+xy)^2-1]^(-1/2)*sh(αn)+a0*ch(αn) ⑼
bn=(-xy*b0-x*a0)*[(1+xy)^2-1]^(-1/2)*sh(αn)+b0*ch(αn) ⑽
其中a0,b0分别是大天使和大恶魔的初始数量，sh,ch分别是双曲正弦和双曲余弦函数，x,y的定义同第一章，α=ln{(1+xy)+[(1+xy)^2-1]^(1/2)}。易见，公式⑼⑽不止对大天使vs大恶魔成立，对于第一章情形Ⅰ均成立。
公式⑼⑽在n小于总回合数N时都是适用的。当n>=N时情况变得不一样。若初始值b0/a0<P，则经过N回合后大天使胜出，大恶魔数量归0。但在数列{an}{bn}中，当n<N时an,bn都是严格单减的。n=N时由⑶⑷知，bN并不为0而是<0，于是aN等于a(N-1)减去负数，首次开始增大（第N回合大天使最后一刀把大恶魔数量砍成了负数，数量为负的大恶魔反击开始增加大天使的数量:P）；n=N+1，b(N+1)继续减小依然为负，a(N+1)则继续增大。可见，由通项公式⑼⑽决定的数列{an}{bn}，an是先单减后单增，当n=N-1时取到最小值；bn是一直单减，当n=N时首次为负；即总回合数N是公式⑼⑽决定的数列{an}取最小值的下标+1，也是{bn}首次小于0的下标。反之，若b0/a0>P，即N回合后大恶魔胜出，同理可知bn先单减后单增，n=N时取最小值，an一直单减，n=N时首次为负。
根据{an}{bn}的上述性质，不难得出求战斗总回合数N的方法。首先根据初值比b0/a0与P的大小判断胜负。若大天使胜则根据公式⑽解不等式bn<0，满足该不等式的最小整数解即为总回合数N。若大恶魔胜则根据⑼解an<0，最小整数解为总回合数N。 不过这个方法实用性不是很高，当总回合数N比较大即初值比b0/a0与P比较接近时，会带来较大的误差（见下面的误差分析）；总回合数N比较小即初值比b0/a0与P差距较大时又不如直接测试来得简单便捷。
误差分析：由于公式⑼⑽是由递归公式⑶⑷所推出的，而⑶⑷是将⑴⑵中的]x[近似处理成x而简化得来的，所以必然存在误差。以a0=5000,b0=6240来说明误差。此时初值比b0/a0=1.248略大于P，大恶魔胜出，总回合数N=18。以下是每回合兵种剩余数量与公式⑼⑽估算数量及误差列表：
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回合数 天使数量 恶魔数量 天使估算数量 恶魔估算数量 天使误差 恶魔误差
01 3397.28 4240 3397.28 4240 0 0
02 2308.272 2880.8 2308.229 2881.088 -0.002% 0.001%
03 1568.152 1957.2 1568.182 1957.797 0.002% 0.030%
04 1065.416 1329.6 1065.244 1330.524 -0.016% 0.069%
05 723.704 903.2 723.370 904.426 -0.046% 0.136%
06 491.616 613.6 490.871 615.079 -0.152% 0.241%
07 334 416.8 332.591 418.730 -0.422% 0.463%
08 226.648 283.2 224.599 285.693 -0.904% 0.880%
09 153.704 192.4 150.566 195.854 -2.041% 1.795%
10 104.192 130.8 99.299 135.627 -4.696% 3.691%
11 70.56 88.8 63.046 95.908 -10.649% 8.004%
12 47.512 60.4 36.325 70.689 -23.545% 17.035%
13 31.64 41.2 15.097 56.159 -52.285% 36.309%
14 20.688 28.4 -3.848 50.120 -118.602% 723381%
15 13.128 20 N/A N/A N/A N/A
16 7.464 14.4 N/A N/A N/A N/A
17 2.928 11.2 N/A N/A N/A N/A
18 0 10 N/A N/A N/A N/A
不难发现，误差随着回合数的增大而逐步累积，呈指数形式增长态势。初期的误差相当微小，N/4个回合内甚至绝对误差不超过1；N/2个回合内误差较小处于可以接受的范围内；到第11个回合，误差已经超出接受范围之外；到第14个回合，天使估计数量已经<0，估计回合数=14与真实回合数18出现较大误差。
关于误差，有三种不同的类型：
1.就是]x[简化成x带来的误差，称之为数量取整误差。这也是最最主要的误差，上面已经分析过，它会每回合逐渐累积，以指数态势增长。由于它是采用简化方法所引起的误差，所以只有改进方法本身，才能减小这个误差。
2.这种误差就是前面注5中提到的误差，称之为伤害取整误差。误差产生的原因很好理解，顾名思义就是伤害值取整带来的误差。例如大恶魔数量为11时，对大天使造成的伤害值为11*0.189*250=519.75，但由于伤害值只能为整数，所以最终伤害为519，这样就造成了0.75的伤害取整误差。这个误差是很微小的，每次出现给天使数量造成的绝对误差也不超过0.004。如果当兵种hp很小比如都是一级兵，这个误差带来的影响就会扩大。这个误差是由游戏程序本身带来的，无法消除。
3.这种误差一般很少发生，只有在一些特殊情形下才会出现，因此也很难发现，称之为公式取整误差。当大恶魔数量为1时，对大天使造成伤害1*0.189*250=47.25，取整后最终伤害应是47，但在将大恶魔dmg固定为35的情况下，无论是底部显示还是实际伤害都是46！出现了1的误差；但如果大恶魔数量为2，却成了正常的[47.25*2]=94而不是46*2=92；把大恶魔dmg固定为41数量取1，这个奇特的误差再次出现[1.35
*41]=55，但实际伤害却是54；大恶魔数量再多一些又恢复了正常。这个误差出现频率很低也很微小。形成原因不明（疑为程序内部浮点运算产生的误差），无法消除。
通过上面的误差分析可以看到，估计公式⑼⑽在双方实力不特别接近（即b0/a0
不特别接近P即总回合数较小）或者回合数不太大（不超过10）的情况下具有令人满意的精确度，回合数越小精确度越高。回合数特别大的时候则会具有较大的误差，不宜采用。
再来看更普遍的第一章情形Ⅱ下的兵种剩余数量估计公式。推导过程与上面是类
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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14 [转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
似的。a0,b0,an,bn,x,y的意义同上。首先不难得出忽略伤害取整误差的递归公式：
a(n+1)=an-2y]bn-x]an[[ ⑾
b(n+1)=bn-x]an[-x]a(n+1)[ ⑿
再得到忽略数量取整误差的近似递归公式：
a(n+1)=(1+2xy)*an-2y*bn ⒀
b(n+1)=(1+2xy)*bn-(2x+2y*x^2)*an ⒁
类似前面的推导，可以得到{an}{bn}的递归公式：
a(n+1)-2(1+2xy)*an+a(n-1)=0 ⒂
b(n+1)-2(1+2xy)*bn+b(n-1)=0 ⒃
其特征方程均为
c^2-2(1+2xy)*c+1=0
两特征根为c1=(1+2xy)+[(1+2xy)^2-1]^(1/2),c2=(1+2xy)-[(1+2xy)^2-1]^(1/2)。引入双曲函数shx和chx，并记β=ln{(1+2xy)+[(1+2xy)^2-1]^(1/2)}，于是可将{an}
{bn}的通项公式写成：
an=u1*sh(βn)+u2*ch(βn)
bn=v1*sh(βn)+v2*ch(βn)
代入初值a0,b0,a1,b1，解之，可以求得：
由递归公式⒀⒁和初值a0,b0决定的数列{an}{bn}的最终通项公式：
an=(-2y*b0)*[(1+2xy)^2-1]^(-1/2)*sh(βn)+a0*ch(βn) ⒄
bn=[-2x(1+xy)*a0]*[(1+2xy)^2-1]^(-1/2)*sh(βn)+b0*ch(βn) ⒅
其中a0,b0分别是兵种A和B的初始数量，sh,ch分别是双曲正弦和双曲余弦函数，x,y的定义同第一章，β=ln{(1+2xy)+[(1+2xy)^2-1]^(1/2)}。对于情形Ⅱ均适用。
注5：事实上正确的公式应为（见上面的伤害取整误差说明）：
b(n+1)=bn-x*]an[ a(n+1)=an-2[250*y*]b(n+1)[]/250
[]表示对250*y*]b(n+1)[取整。不过这个公式太复杂了，由于伤害取整误差很微小，所以公式⑴⑵已经足够了。
注6：限于篇幅，关于齐次线性递归数列的相关内容及其通项公式的推导，不再多做介绍，请自行参阅有关知识。
后 记
这篇文章的思路最早形成于2003年初。在问题提出的最初很长时间内，都没有什么进展，在叠加性原理面前止步不前。直到想到了比值法，才取得了重大突破。有了比值法，关于兵种排名部分就只是简单重复性的计算和测试了，但是关于基础理论部分还有很多重大问题没有解决：叠加性原理的证明；定义的合理性（即极限的存在性）；比值法的合理性（即结论⑥）。不解决这些问题，整篇文章只能是空中楼阁。期间04年的时候曾把比值法的思路发于ytht的heroes板，并得到了很多网友的帮助和启发，特别是黄玉飞大大，他用大量实验验证了比值法的结果，并最先提出了x,y的定义和情形ⅠⅡ的计算公式，而且证实了误差的存在，特此表示诚挚的感谢。在后来的时间中我终于逐步解决了上面三个理论问题，于是05年开始撰写本文。可惜受学业和时间所限，在加上本人生性懒惰，所以效率极其低下，一再拖拖拉拉，兵种排名部分只是完成了一、七级兵和勉强算完成的二级兵。本应该等整篇文章彻底完工之后再发出来，但近期猛然发现这篇文章实在不能再拖了，而且凭我这个蜗牛一般的效率，还不知几时才能完成……于是补写了最后一章的估计公式，发出来献给大家，算作对整篇文章的一个彻底了结吧。至于我未完成的三四五六级兵，还有已完成部分的测试和查错，以及更深入的研究，就借助群众的力量，交由大家来完成了。
最后，再次感谢大家能耐心的看完这么多字。真诚希望能与大家多多交流，共同进步。谨以此文，献给我们共同喜爱的经典，纪念曾经的英雄岁月。
作者： 炽天之羽翼 2007-10-7 23:28 回复此发言
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15 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
从游家转来的。。。
作者： 202.104.17.* 2007-10-7 23:40 回复此发言
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16 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
技术贴来了
作者： barbarianfu 2007-10-7 23:42 回复此发言
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17 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
用极限真算是创新。。。。。。。
不过似乎没考虑到一些特殊情况。。。。。。。。
作者： Ru43 2007-10-8 00:06 回复此发言
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18 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
很好的帖子~~~
作者： 幽冥0卡卡西 2007-10-8 00:07 回复此发言
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19 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
傻子...生怕别人不知道自己学过数学分析
作者： 222.66.132.* 2007-10-8 00:38 回复此发言
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20 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
楼上的傻子2字很强大
作者： barbarianfu 2007-10-8 00:46 回复此发言
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21 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
那是相~~~~~~~~~~~~~当地强大啊.............
作者： 信野狂人 2007-10-8 00:52 回复此发言
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22 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
强帖留IP..
验证码竟然是...WKRP
我靠人品``
作者： 121.46.168.* 2007-10-8 10:09 回复此发言
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23 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
LZ很很很很强大，我看完了居然没找到7级兵种排名，有找到的告诉我在哪，不过估计这样的算法应该算是比较容易接受，但最不容易理解的
况且况且……火车经过
作者： chicken512 2007-10-8 10:50 回复此发言
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24 回复：[转贴]纸上谈兵，Heroes3兵种单挑排名,文：至高天使长.
ls的,在这里
顶级兵最终排名如下：
(01) Archangel
(02) Arch Devil
(03) Titan
(04) Ancient Behemoth
(05) Black Dragon (>(03)Titan)
(06) Gold Dragon
(07) Chaos Hydra
(08) Angel
(09) Devil (>(07)Chaos Hydra)
(10) Red Dragon
(11) Phoenix
(12) Ghost Dragon
(13) Green Dragon
(14) Giant
(15) Young Behemoth
(16) Hydra
(17) Firebird
(18) Bone Dragon
作者： barbarianfu 2007-10-8 10:53 回复此发言
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此文是游戏人的家 的帖子 google来的
[ 本帖最后由 wwwwn168 于 2008-5-28 10:31 编辑 ] |
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楼主: GLARE
沪公网安备 31010702007642号 )
发表于 2008-5-27 17:21
