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这题要证明不存在正整数A，B使2(A^2) + 1 = (B^3)成立。用反证法，假设存在正整数A，B满足2(A^2) + 1 = (B^3)。
(a^2) - (b^2) = (a + b)(a - b)
所以 (B^3) = 2(A^2) + 1 = 1 + 2(A^2) = (1^2) - ((sqrt(-2))^2)(A^2) = (1 + (sqrt(-2))A)(1 - (sqrt(-2))A)
令 sqrt(-2) = w，
所以(B^3) = (1 + wA)(1 - wA)
令Z[w] = {u + vw | u, v ∈ Z}。在Z[w]中每个元素都可以写成u + vw的形式，其中u, v为整数。
设d为1 + Aw和 1 - Aw的共同因子，即d | (1 + Aw), d | (1 - Aw)，d 整除1 - Aw和1 + Aw。
所以 d | ((1 + Aw) + (1 - Aw)) = d | 2，d | ((1 + Aw) - (1 - Aw)) = d | 2Aw。
因为 d | (1 + Aw)，所以 N(d) | N(1 + Aw) 。因为N(1 + Aw) = (1 + Aw)(1 - Aw) = 1 - (A^2)(w^2) = 1 + 2(A^2) = (B^3)
所以 N(d) | N(1 + Aw) => N(d) | (B^3)。
因为 2(A^2) + 1 = (B^3)，(2(A^2) + 1)必定是个奇数，所以(B^3)必定是个奇数。
因为 N(d) | (B^3)，所以 N(d) 整除一个奇数。
因为 d | 2，所以 N(d) | N(2) => N(d) | 4，所以N(d)为1, 2, 4。因为N(d) 整除一个奇数，所以N(d) = 1。
因为Z[w] = {u + vw | u, v ∈ Z}，所以d = u + vw => N(d) = N(u + vw) = (u^2) + 2(v^2) = 1，所以u = +-1, v = 0，所以d = +-1。
因为d | (1 + Aw), d | (1 - Aw)，d = +-1，所以(1 + Aw)和(1 - Aw)在Z[w]中互素。
由唯一素因数分解定理可知，每个正整数都能唯一分解成素数的乘积。两个互素整数的乘积是三次方，那么它们各自也都是三次方。
因为Z[w]具有唯一分解性质，(1 + Aw)和(1 - Aw)在Z[w]中互素，Z[w] = {u + vw | u, v ∈ Z}，所以(1 + Aw) = +-((u + vw)^3)，即存在ε ∈ {1, -1}使得(1 + Aw) = ε((u + vw)^3)
(u + vw)^3 = （u^3） + 3(u^2)vw + 3u(v^2)(w^2) + (v^3)(w^3) = （u^3） + 3(u^2)vw + 3u(v^2)(-2) + (v^3)(-2w) = ((u^3) - 6u(v^2)) + (3(u^2)v - 2(v^3))w
因为 (1 + Aw) = ((u^3) - 6u(v^2)) + (3(u^2)v - 2(v^3))w，所以1 = ((u^3) - 6u(v^2))、A = (3(u^2)v - 2(v^3))。
因为ε ∈ {1, -1}，所以-((u + vw)^3) = (-u - vw)^3。
令a = εu, b = εv，所以ε((u + vw)^3) = (a + bw)^3
所以 1 = （a^2 - 6(b^2))a, A = 3(a^2)b - 2(b^3)。
因为1 = （a^2 - 6(b^2))a，所以a = 1, （a^2 - 6(b^2)) = 1，或a = -1, （a^2 - 6(b^2)) = -1。
当a = 1, （a^2 - 6(b^2)) = 1时，a^2 - 6(b^2) = 1 => b = 0。
当a = -1, （a^2 - 6(b^2)) = -1时，（a^2 - 6(b^2)) = -1 => b^2 = 1/3，但b应为整数，所以a = -1, （a^2 - 6(b^2)) = -1不成立。
当a = 1, b = 0时，A = 3(a^2)b - 2(b^3) = 0。但A应为正整数，所以a = 1, b = 0不成立。
所以不存在使2(A^2) + 1 = (B^3)成立的正整数A，B。 |
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发表于 2026-6-7 09:40
