一个一直不太理解的问题问了ai

长生久视

“无穷多个无穷小的乘积一定是无穷小吗”，答案是不一定，但是对反例一直理解不太透彻。问了几个ai，有的连答案都讲不对，讲对的也举不出合适的反例。

没取名啊

这事你应该去百度数学吧问

starash

对不起，我看错题了。

sellboy

starash 发表于 2026-8-28 10:36
不是，为啥会有这种疑问啊
lim|x->∞[x·sin(1/x)]=1啊。

这不是无穷大乘无穷小么。

starash

sellboy 发表于 2026-8-28 10:39
这不是无穷大乘无穷小么。

看错题了，是无穷个无穷小连乘。
直觉上极限是0，试着证一下。

FeteFete

感觉像是高等数学或者分析的问题

tsubasa9

无穷小不是数，你把它看作数列，理解这个就能理解为什么

哈尔路尼亚

Deepseek的解释是无穷小序列中任意一项可以是任意值，只要整体无限接近0的趋势没变就行
那其中骚操作就多了

长生久视

哈尔路尼亚 发表于 2026-8-28 10:46
Deepseek的解释是无穷小序列中任意一项可以是任意值，只要整体无限接近0的趋势没变就行
那其中骚操作就多了 ...

整体理解不难，就是把无穷小推到无穷远的未来，永远到不了。难的是透彻理解一个具体的反例。

starash

想通了，这是个二重积分路径的问题
构造yn(x)=nx
n为任意值时，毫无疑问x->0时yn(x)都为0；
若先令xn=(n!)^−1/n。
lim|x->0Πyn(x)=lim|x->0Πn!xn^n=1，
但如果xn都以同样的趋势趋近于0，这个答案就确实是0了。

泥潭小灰灰

就现在AI搜索，越精细专业越容易出岔子。
比如昨天我找某个电视剧的片段有句台词发音错误，问出自那集，我不要求对面给我精细的回答，给我指出来第几集就够了，结果对面这一顿戏精上身啊。
又是解释这段在哪里，又说没有这句台词的有，问了四五遍，回答了我四个答案。
我明确指出来，这句台词是电视剧原声。
然后对面又开始演戏，说什么，这是网友二次剪辑拼接，又说你的片源是二次删减剪辑的，最初是的原片是没有的。
真爱犟嘴啊

雪见

我也看错题了。

starash

starash 发表于 2026-8-28 11:15
想通了，这是个二重积分路径的问题
构造yn(x)=nx
n为任意值时，毫无疑问x->0时yn(x)都为0；

不对，这个构造还是有问题。

rick343

泥潭小灰灰 发表于 2026-8-28 11:20
就现在AI搜索，越精细专业越容易出岔子。
比如昨天我找某个电视剧的片段有句台词发音错误，问出自那集，我 ...

你本来就不应该指望ai找出这种大概率没有文字记录的东西

kenqqex

这不是挺明白的么

normalli

可能会收敛到特定值吧

starash

kenqqex 发表于 2026-8-28 11:27
这不是挺明白的么

你的首项就不是无穷小了

haiuhfuwah

问的dsv4pro不连网
可能。甚至存在这样的例子：无穷多个无穷小数列逐项相乘后，得到的数列恒为 1，因此不是无穷小。

设第 m 个数列为 (a_{m,n})_{n=1}^{\infty}，其中 m 表示数列编号，n 表示项号。定义

a_{m,n}=
\begin{cases}
1, & m>n,\\[4pt]
n!, & m=n,\\[4pt]
\dfrac{1}{n-m+1}, & m<n.
\end{cases}

对每个固定的 m，当 n>m 时，

a_{m,n}=\frac{1}{n-m+1}\to 0,

所以每个数列 (a_{m,n})_{n=1}^{\infty} 都是无穷小数列。

现在看它们的逐项无穷乘积。对固定的 n，

b_n=\prod_{m=1}^{\infty}a_{m,n}.

因为当 m>n 时 a_{m,n}=1，所以实际上只有前 n 个因子不为 1。于是

b_n
=
\left(\prod_{m=1}^{n-1}\frac{1}{n-m+1}\right)
\cdot n!
\cdot
\left(\prod_{m=n+1}^{\infty}1\right).

其中

\prod_{m=1}^{n-1}\frac{1}{n-m+1}
=
\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n-1}\cdots\frac{1}{2}
=
\frac{1}{n!}.

所以

b_n=\frac{1}{n!}\cdot n!=1.

因此乘积数列

b_n=1,\quad n=1,2,3,\dots

它不是无穷小数列。

所以，无穷多个无穷小数列相乘后，确实可能不是无穷小数列，甚至可能恒为常数 1。

haiuhfuwah

haiuhfuwah 发表于 2026-8-28 11:40
问的dsv4pro不连网
可能。甚至存在这样的例子：无穷多个无穷小数列逐项相乘后，得到的数列恒为 1，因此不是 ...

简单来说就是
第m个数列的n项通式是
n<m的时候 固定1
n=m的时候 m!
n>m的时候 1/(n-m+1)

这样对于单个数列 最终收敛到0
但是每一个固定的n 前n-1个数列的对应项乘积就是1/n!正好和第n个数列的第n项抵消 而后面所有数列的第n项都是1 所以通项固定是1

半江瑟瑟半江红

问了问数学造诣最深厚的gpt，它说是的

—— 来自 HUAWEI SGU-AL10, Android 16, 鹅球 v4.0

半江瑟瑟半江红

仔细看了一下它的回答，傻逼gpt把题目理解错了

—— 来自 HUAWEI SGU-AL10, Android 16, 鹅球 v4.0

pright

gpt回答是这样的啊

半江瑟瑟半江红

pright 发表于 2026-8-28 12:55
gpt回答是这样的啊

如果你说的“无穷多个无穷小的乘积”是标准的**无穷乘积**

我直接把楼主问题复制给5.6 sol high，它直接理解错了，还不如d指导

—— 来自 HUAWEI SGU-AL10, Android 16, 鹅球 v4.0

RJG丶one

任意数量的无穷小相乘肯定得到更高阶的无穷小啊，这和无穷大乘无穷小不一样，无穷大无穷小有正有负，无穷小无穷小只有负的

长生久视

RJG丶one 发表于 2026-8-28 13:08
任意数量的无穷小相乘肯定得到更高阶的无穷小啊，这和无穷大乘无穷小不一样，无穷大无穷小有正有负，无穷小 ...

课本上的原话是“有限个无穷小的乘积还是无穷小”，无限个的情况，一般非数学系是不讲的。结论是不一定，但反例不是很好理解。

lugiyahan

不一定。无穷多个无穷小的乘积不一定是无穷小。

一个经典的反例：

考虑序列 aₙ = e^(1/n) - 1，当 n → ∞ 时，aₙ → 0，所以每个 aₙ 都是无穷小。

但是它们的无穷乘积：

∏ₙ₌₁^N (1 + aₙ) = ∏ₙ₌₁^N e^(1/n) = e^(∑ₙ₌₁^N 1/n)

由于调和级数 ∑ 1/n 发散到正无穷，所以当 N → ∞ 时，这个乘积趋向于 +∞，而不是 0。

另一个简单的例子：

设 aₙ = 1 + 1/n，每一项与 1 的差值 1/n 是无穷小，但：

∏ₙ₌₁^N (1 + 1/n) = ∏ₙ₌₁^N (n+1)/n = (N+1)/1 → ∞

关键在于：无穷多个无穷小的乘积结果取决于这些无穷小趋向于零的速度。如果趋向于零的速度不够快，乘积可能发散；如果足够快（比如每项都小于某个收敛级数的对应项），乘积才可能收敛到零。claude还是强的

haiuhfuwah

lugiyahan 发表于 2026-8-28 14:11
不一定。无穷多个无穷小的乘积不一定是无穷小。

一个经典的反例：

反例有问题，只要是单调的趋于零，乘积就还是趋于零。

冰封臧列

[1]张丽丽,马晓丽,马元魁.再论无穷多个无穷小量的乘积[J].大学数学,2017,33(2):90-94.
有论文啊，这不比ai反刍之后的东西好懂多了。。

starash

还是先研究研究，