回忆起小学班里流行的数学游戏，当年只是觉得有意思，现在再看好像涉及数学原理？

管理员我不敢了

今天偶然想起了小学时候班里曾经流行过的一种很简单的数学游戏，当时的游戏规则是这样的：甲乙两人轮流写出两个大于1的自然数，要求是这两个自然数彼此不能包含同样的质因子，比如甲先写出14，乙之后就不能写2或者7。注意的是，前面选取数字的情况对后面所有选择都有影响。这样依次写出数字，直到有一方无法再写出满足条件的数字就输了。

当时我们玩的时候会先给定这局可以写的自然数范围（比如不大于30，不大于50），然后就是各种尝试比较：有时候先手写某个数字最后就赢了，有时候先手写某个数字玩下去就输了。

当时我在想，有没有某种必胜的策略呢？比如我是先手，在给定可以写的数字范围内，我只要第一步写某个数字，后续只要不是犯傻那随机应变下就一定能赢。
当年我还想过针对可以选的某个数字范围，把这个游戏可能出现的情况都举例出来过一下，但是随着数字增大，穷举难度太大就放弃了。

现在我再看这个问题，感觉好像涉及某种数学原理来着？比如把上限推广到给定的任意自然数N，这个游戏的玩法应该有最优解吧？

管理员我不敢了

Ne0 发表于 2026-7-4 12:29
抱歉这只是一种惯用的说法而已，大概就是说这个不是一个非常简单的显然的结构，换句话说就是是否先手必胜 ...

顺便如果这个数字游戏换一种规则，那结果会如何：

甲乙两位玩家轮流选取一个在给定区间范围内（即上限值N）的大于1的自然数X（比方说某次游戏规定X不超过上限值20）。

数字禁用规则：后续新选的数X，不能是之前任意已选数的因子，也就是说如果d是某个已选数的因子，那么d以后都不能被选取；但数X可以包含之前这些因子，只要数X本身没当过因子就可以。(举个例子，前面选取了18，后面就不能选6和9，但是可以选12，以此类推)

选完一个数X，就把这个数X加入“已选列表”(已经被选的数，理论上之后也不能重复选取)

以此类推，无法选出数X的人就先输了




这个新规则是不是就能比较简单确认先手必胜策略了？因为我又恍惚间觉得这个游戏规则是我们之前玩的。以及这个推广到任意自然数N也是有所谓先手必胜策略吗？
还是说这个推广讨论跟N具体取值密切相关，不存在统一的解题思路，需要N的每个取值来单独枚举讨论，是很繁琐的？

newise

先简化一下成只写质数，看给定范围有内奇数个还是偶数个，因为不可重复结果是固定的
然后再来看合数，含两个素因子最小6，含三个最小30……
小学生应该不会玩太大……吧？

接下来就是每次打1张或2张最后出的获胜那种送分题了

dabao362

小学不会这么高深吧，一般是写一个小于等于3的数字，谁先达到或者超过21就赢/输。

tsubasa9

枚举一下素数，然后乘起来看范围就行了不是

Ne0

可能是有先手必胜策略，其实和那种摸一个硬币还是两个硬币是类似的，只不过这里摸的是质数，先手方只要维护剩余质数个数的奇偶性就行了。但是因为一次可以摸的质数个数不是有限的，这个策略可不可行应该不是一个平凡的问题，至少应该先把较小的质数摸完才能减小不确定性（尽快进入仅剩大于 sqrt N 的质数的垃圾时间）。

论坛助手,iPhone

管理员我不敢了

Ne0 发表于 2026-7-4 11:33
可能是有先手必胜策略，其实和那种摸一个硬币还是两个硬币是类似的，只不过这里摸的是质数，先手方只要维护 ...

我数学水平很一般，所谓“平凡问题”是什么意思

الطائر

恭喜你，发明了欧拉函数和筛法

注意到对区间 [k+1, 2k]，G C D(i,k) = G C D(i-k,k)，因此 30 + 2n, 30 + 3n, 30 + 5n 分别能被 2, 3, 5 整除。因此去掉 30 后，在 [31, 60] 内剩余的数只剩 phi(30) = phi(2)*phi(3)*phi(5) = 8。也就是 30 + 1, 30 + 7, 30 + 11, 30 + 13, 30 + 17, 30 + 19, 30 + 23, 30 + 29。其中只有 30 + 19 = 49 是 7 的倍数，因为区间中没有 7 本身，它与剩余的所有数互质。

tiro_finale

属于完全信息博弈，根据策梅洛定理一定有必胜法（先手或后手），具体是谁赢应该和你设定的上限有关系，有些先手赢有些后手赢

Ne0

管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 11:57
我数学水平很一般，所谓“平凡问题”是什么意思

抱歉这只是一种惯用的说法而已，大概就是说这个不是一个非常简单的显然的结构，换句话说就是是否先手必胜可能取决于具体的 N

论坛助手,iPhone

西瓜田里的飞鱼

我们那会流行5*5点阵一笔画
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年轻人的图论启蒙

—— 来自 nubia NX741J, Android 16, 鹅球 v4.0.100-alpha

管理员我不敢了

الطائر 发表于 2026-7-4 11:59
恭喜你，发明了欧拉函数和筛法

注意到对区间 [k+1, 2k]，G C D(i,k) = G C D(i-k,k)，因此 30 + 2n, 30 +  ...

麻烦请您看看第11楼我的新问题，谢谢了

管理员我不敢了

tiro_finale 发表于 2026-7-4 12:12
属于完全信息博弈，根据策梅洛定理一定有必胜法（先手或后手），具体是谁赢应该和你设定的上限有关系，有些 ...

麻烦请您看看第11楼我的新问题，谢谢了

春秋

四年级奥数班内容，有同学学了后坑你

tiro_finale

管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 13:52
麻烦请您看看第11楼我的新问题，谢谢了

大致确认了一下
N=2先手胜
N=3后手胜
N=4先手胜（选2）
N=5先手胜（选4）
N=6先手胜（选6）
大致的思路是
1.如果选完剩余的数没有倍数关系，那剩余偶数个时，下一个选的人立刻失败
2.如果选完后仅有一组倍数关系，那下一个选的必胜，因为可以选成1的情况
但N=7后手胜
先选2，后选3，剩4567，先手输
先选3，后选2，同上
先选4，后选6，剩57，先手输
先选5和先选7是一样的，后手退化到N=6的先手，先手输
所以这个就是得看具体的N，和素数分布有关，是比较复杂的数论问题了

管理员我不敢了

我看别的地方分析说不管哪一种规则下，都属于公平组合游戏，那么就一定存在必胜策略，求SG函数即可得到对每个 N 的具体策略。

但是我又查了一下这个SG函数，好像也只能针对N数值较小的情况，N数值变大，还是没啥招.....

看来这个问题真得暴力穷举？

tsubasa9

管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 14:29
我看别的地方分析说不管哪一种规则下，都属于公平组合游戏，那么就一定存在必胜策略，求SG函数即可得到对每 ...

算SG是指数复杂度，N很大会很慢，可以认为是穷举所有分支了

包括主楼问题，和素数相关的问题一般都没简单策略

管理员我不敢了

tiro_finale 发表于 2026-7-4 14:27
大致确认了一下
N=2先手胜
N=3后手胜

感谢，看来还是太复杂了，我就纳闷当年小学时候咋会有人搞这套来- -

管理员我不敢了

tsubasa9 发表于 2026-7-4 14:32
算SG是指数复杂度，N很大会很慢，可以认为是穷举所有分支了

包括主楼问题，和素数相关的问题一般都没简单 ...

四处问了一下，这个问题确实非常复杂.....现在我就纳闷我小学时候那些同学从哪里翻出来这种数学游戏的....

wing130083

管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 16:03
四处问了一下，这个问题确实非常复杂.....现在我就纳闷我小学时候那些同学从哪里翻出来这种数学游戏的... ...

必胜策略复杂但规则不复杂，挺好的游戏

风之道2号

这玩法在小说 异世界农家见过

—— 来自 OnePlus PLQ110, Android 16, 鹅球 v3.5.99-alpha

INDIASH

感觉除了3、4、17、18外都是先手赢吧
质数可太难了，还是直接打表吧

管理员我不敢了

INDIASH 发表于 2026-7-4 18:27
感觉除了3、4、17、18外都是先手赢吧
质数可太难了，还是直接打表吧

我这帖子相当于回忆了两种不同的数学游戏规则，不知道你判断的是针对1楼还是11楼的....

INDIASH

管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 18:37
我这帖子相当于回忆了两种不同的数学游戏规则，不知道你判断的是针对1楼还是11楼的.... ...

星际了，只看到主楼的
11楼这个版本感觉更难

管理员我不敢了

INDIASH 发表于 2026-7-4 18:44
星际了，只看到主楼的
11楼这个版本感觉更难

因为我今天想起这个事情就在不断回忆具体规则，主楼那一版应该是我记得不清楚，本贴11楼这一版才是我当初兴高采烈玩的（当时N默认取20）

管理员我不敢了

11楼这个问题用不同方式问AI的结果不一样，目前来看大概率涉及偏序集博弈，是一个Poset Game ，也是已知的 PSPACE‑完全 问题。（好吧我对离散数学或者组合博弈问题真不懂）

AI说N小于等于30还能暴力举例，N数值变得很大，只能有个近似算法，故不存在通用的针对N的简单结论…

不知道这次AI说的对不对，因为我真的完全看不懂啊，我对这个小学时候玩的数字游戏很有印象，但是没想到背后涉及这样的数学理论？

幻想训诂

管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 16:03
四处问了一下，这个问题确实非常复杂.....现在我就纳闷我小学时候那些同学从哪里翻出来这种数学游戏的... ...

直接宣布 “30以下，我选6就已经赢了！”   对面不信呀，不信那怎么办？诺，草稿本，一直到自习课结束呗。
一周后：”这次我先！”  “你这个不行，不准选6。“ 你还不知道吗，其实选5也可以……”