回忆起小学班里流行的数学游戏，当年只是觉得有意思，现在再看好像涉及数学原理？
本帖最后由 管理员我不敢了 于 2026-7-4 12:04 编辑今天偶然想起了小学时候班里曾经流行过的一种很简单的数学游戏，当时的游戏规则是这样的：甲乙两人轮流写出两个大于1的自然数，要求是这两个自然数彼此不能包含同样的质因子，比如甲先写出14，乙之后就不能写2或者7。注意的是，前面选取数字的情况对后面所有选择都有影响。这样依次写出数字，直到有一方无法再写出满足条件的数字就输了。
当时我们玩的时候会先给定这局可以写的自然数范围（比如不大于30，不大于50），然后就是各种尝试比较：有时候先手写某个数字最后就赢了，有时候先手写某个数字玩下去就输了。
当时我在想，有没有某种必胜的策略呢？比如我是先手，在给定可以写的数字范围内，我只要第一步写某个数字，后续只要不是犯傻那随机应变下就一定能赢。
当年我还想过针对可以选的某个数字范围，把这个游戏可能出现的情况都举例出来过一下，但是随着数字增大，穷举难度太大就放弃了。
现在我再看这个问题，感觉好像涉及某种数学原理来着？比如把上限推广到给定的任意自然数N，这个游戏的玩法应该有最优解吧？
本帖最后由 管理员我不敢了 于 2026-7-4 13:58 编辑
Ne0 发表于 2026-7-4 12:29
抱歉这只是一种惯用的说法而已，大概就是说这个不是一个非常简单的显然的结构，换句话说就是是否先手必胜 ...
顺便如果这个数字游戏换一种规则，那结果会如何：
甲乙两位玩家轮流选取一个在给定区间范围内（即上限值N）的大于1的自然数X（比方说某次游戏规定X不超过上限值20）。
数字禁用规则：后续新选的数X，不能是之前任意已选数的因子，也就是说如果d是某个已选数的因子，那么d以后都不能被选取；但数X可以包含之前这些因子，只要数X本身没当过因子就可以。(举个例子，前面选取了18，后面就不能选6和9，但是可以选12，以此类推)
选完一个数X，就把这个数X加入“已选列表”(已经被选的数，理论上之后也不能重复选取)
以此类推，无法选出数X的人就先输了
这个新规则是不是就能比较简单确认先手必胜策略了？因为我又恍惚间觉得这个游戏规则是我们之前玩的。以及这个推广到任意自然数N也是有所谓先手必胜策略吗？
还是说这个推广讨论跟N具体取值密切相关，不存在统一的解题思路，需要N的每个取值来单独枚举讨论，是很繁琐的？
本帖最后由 newise 于 2026-7-4 11:12 编辑
先简化一下成只写质数，看给定范围有内奇数个还是偶数个，因为不可重复结果是固定的
然后再来看合数，含两个素因子最小6，含三个最小30……
小学生应该不会玩太大……吧？
接下来就是每次打1张或2张最后出的获胜那种送分题了
小学不会这么高深吧，一般是写一个小于等于3的数字，谁先达到或者超过21就赢/输。 枚举一下素数，然后乘起来看范围就行了不是 可能是有先手必胜策略，其实和那种摸一个硬币还是两个硬币是类似的，只不过这里摸的是质数，先手方只要维护剩余质数个数的奇偶性就行了。但是因为一次可以摸的质数个数不是有限的，这个策略可不可行应该不是一个平凡的问题，至少应该先把较小的质数摸完才能减小不确定性（尽快进入仅剩大于 sqrt N 的质数的垃圾时间）。
论坛助手,iPhone Ne0 发表于 2026-7-4 11:33
可能是有先手必胜策略，其实和那种摸一个硬币还是两个硬币是类似的，只不过这里摸的是质数，先手方只要维护 ...
我数学水平很一般，所谓“平凡问题”是什么意思 恭喜你，发明了欧拉函数和筛法
注意到对区间 ，G C D(i,k) = G C D(i-k,k)，因此 30 + 2n, 30 + 3n, 30 + 5n 分别能被 2, 3, 5 整除。因此去掉 30 后，在 内剩余的数只剩 phi(30) = phi(2)*phi(3)*phi(5) = 8。也就是 30 + 1, 30 + 7, 30 + 11, 30 + 13, 30 + 17, 30 + 19, 30 + 23, 30 + 29。其中只有 30 + 19 = 49 是 7 的倍数，因为区间中没有 7 本身，它与剩余的所有数互质。
属于完全信息博弈，根据策梅洛定理一定有必胜法（先手或后手），具体是谁赢应该和你设定的上限有关系，有些先手赢有些后手赢 管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 11:57
我数学水平很一般，所谓“平凡问题”是什么意思
抱歉这只是一种惯用的说法而已，大概就是说这个不是一个非常简单的显然的结构，换句话说就是是否先手必胜可能取决于具体的 N
论坛助手,iPhone 我们那会流行5*5点阵一笔画
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年轻人的图论启蒙
—— 来自 nubia NX741J, Android 16, 鹅球 v4.0.100-alpha الطائر 发表于 2026-7-4 11:59
恭喜你，发明了欧拉函数和筛法
注意到对区间 ，G C D(i,k) = G C D(i-k,k)，因此 30 + 2n, 30 +...
麻烦请您看看第11楼我的新问题，谢谢了 tiro_finale 发表于 2026-7-4 12:12
属于完全信息博弈，根据策梅洛定理一定有必胜法（先手或后手），具体是谁赢应该和你设定的上限有关系，有些 ...
麻烦请您看看第11楼我的新问题，谢谢了 四年级奥数班内容，有同学学了后坑你 管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 13:52
麻烦请您看看第11楼我的新问题，谢谢了
大致确认了一下
N=2先手胜
N=3后手胜
N=4先手胜（选2）
N=5先手胜（选4）
N=6先手胜（选6）
大致的思路是
1.如果选完剩余的数没有倍数关系，那剩余偶数个时，下一个选的人立刻失败
2.如果选完后仅有一组倍数关系，那下一个选的必胜，因为可以选成1的情况
但N=7后手胜
先选2，后选3，剩4567，先手输
先选3，后选2，同上
先选4，后选6，剩57，先手输
先选5和先选7是一样的，后手退化到N=6的先手，先手输
所以这个就是得看具体的N，和素数分布有关，是比较复杂的数论问题了 我看别的地方分析说不管哪一种规则下，都属于公平组合游戏，那么就一定存在必胜策略，求SG函数即可得到对每个 N 的具体策略。
但是我又查了一下这个SG函数，好像也只能针对N数值较小的情况，N数值变大，还是没啥招.....
看来这个问题真得暴力穷举？ 本帖最后由 tsubasa9 于 2026-7-4 14:42 编辑
管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 14:29
我看别的地方分析说不管哪一种规则下，都属于公平组合游戏，那么就一定存在必胜策略，求SG函数即可得到对每 ...
算SG是指数复杂度，N很大会很慢，可以认为是穷举所有分支了
包括主楼问题，和素数相关的问题一般都没简单策略
tiro_finale 发表于 2026-7-4 14:27
大致确认了一下
N=2先手胜
N=3后手胜
感谢，看来还是太复杂了，我就纳闷当年小学时候咋会有人搞这套来- - tsubasa9 发表于 2026-7-4 14:32
算SG是指数复杂度，N很大会很慢，可以认为是穷举所有分支了
包括主楼问题，和素数相关的问题一般都没简单 ...
四处问了一下，这个问题确实非常复杂.....现在我就纳闷我小学时候那些同学从哪里翻出来这种数学游戏的.... 管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 16:03
四处问了一下，这个问题确实非常复杂.....现在我就纳闷我小学时候那些同学从哪里翻出来这种数学游戏的... ...
必胜策略复杂但规则不复杂，挺好的游戏 这玩法在小说 异世界农家见过
—— 来自 OnePlus PLQ110, Android 16, 鹅球 v3.5.99-alpha 感觉除了3、4、17、18外都是先手赢吧
质数可太难了，还是直接打表吧 INDIASH 发表于 2026-7-4 18:27
感觉除了3、4、17、18外都是先手赢吧
质数可太难了，还是直接打表吧
我这帖子相当于回忆了两种不同的数学游戏规则，不知道你判断的是针对1楼还是11楼的.... 管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 18:37
我这帖子相当于回忆了两种不同的数学游戏规则，不知道你判断的是针对1楼还是11楼的.... ...
星际了，只看到主楼的
11楼这个版本感觉更难 INDIASH 发表于 2026-7-4 18:44
星际了，只看到主楼的
11楼这个版本感觉更难
因为我今天想起这个事情就在不断回忆具体规则，主楼那一版应该是我记得不清楚，本贴11楼这一版才是我当初兴高采烈玩的（当时N默认取20） 11楼这个问题用不同方式问AI的结果不一样，目前来看大概率涉及偏序集博弈，是一个Poset Game ，也是已知的 PSPACE‑完全 问题。（好吧我对离散数学或者组合博弈问题真不懂）
AI说N小于等于30还能暴力举例，N数值变得很大，只能有个近似算法，故不存在通用的针对N的简单结论…
不知道这次AI说的对不对，因为我真的完全看不懂啊，我对这个小学时候玩的数字游戏很有印象，但是没想到背后涉及这样的数学理论？ 管理员我不敢了 发表于 2026-7-4 16:03
四处问了一下，这个问题确实非常复杂.....现在我就纳闷我小学时候那些同学从哪里翻出来这种数学游戏的... ...
直接宣布 “30以下，我选6就已经赢了！” 对面不信呀，不信那怎么办？诺，草稿本，一直到自习课结束呗。
一周后：”这次我先！”“你这个不行，不准选6。“ 你还不知道吗，其实选5也可以……”
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