393-Joseph Dauben：马克思、毛与无穷小
www.youtube.com/watch%3Fv%3DtbuLHSzBzZk%26list%3DPL4i9YSoIJiPeWWDfOimNzy08bFl_pX8Zl%26index%3D102我要感谢莎拉如此亲切的介绍，也要感谢她的雅典娜奖学金项目同事迈克尔，正是他的精心安排让我们今晚的餐桌对话如此流畅。我有幸结识了克莱蒙特.麦肯纳学院的在校生们——坦白说，1966年我在本校求学时，校园氛围与现在截然不同。时隔近五十年重返母校——去年春季原定的五十周年庆典期间我因为身在北京未能出席——今晚的所见所闻令我倍感欣喜。我要感谢数学系的阿苏曼.阿克索伊（Asuman G. Aksoy）教授。正是去年此时在此参会时她的提议促成了我今晚的雅典娜讲座。同时感谢普丽娅.朱纳尔（Priya Junnar）主任，她的高效组织让我此次重返母校的每一刻都唤起了最美好的青春记忆。
如各位所知，我是克莱蒙特男子学院的62-66级校友。这张1966年的年鉴照片记录了我当年的模样——虽然如今我早已面目全非。1976年学院更名为克莱蒙特.麦肯纳学院时，我很欣慰母校如今位列全美"最幸福大学"前十名。重返校园后我完全理解这个评价：不仅因为惊艳的校园景观——当年虽也不错，但是远不如今日壮观——更因这里始终如一的宜人气候。正如《普林斯顿评论》所言：“顶尖的学术、完美的天气、杰出的教授”——有学生甚至感叹：“综合考虑学术与生活质量，我差点为常春藤错过这里！”作为校友，听到这样的评价自然欣慰。在CMC期间，我参加了四年辩论队，并在1965年当选学生会主席，得以参与当时克莱蒙特五校联盟的跨校政务。彼时皮策学院刚刚成立，能与这个新兴学生自治团体共事是难得的经历——1965年克莱蒙特年鉴将献词题给皮策学院学生群体，足见当时CMC男生们多么珍视学院的成立。
今晚能回到这里，还要感谢我的哈佛导师、数学史家朱迪斯.格拉宾纳（Judith Grabiner）教授。去年此时我专程来参加她的荣休仪式，纪念这位皮策学院桑伯恩数学讲席教授的卓越生涯。朱迪，感谢你引领我走上数学史研究之路，更感谢你让我有机会回到克莱蒙特共同庆祝。
下面我介绍一下当年我在CMC就读时数学系的面貌。首先是1966年的系主任约翰.弗林（John Ferling）——身为年鉴编辑委员会成员的特权之一是可以为各位教授们每年拍摄的肖像照片搭配说明词，于是年鉴编辑们为他配的俏皮题词是“未干油漆”。格兰维尔.亨利（Granville C. Henry）教授是当时数学系里第二位对我影响极大的教授，我在克莱蒙特.麦肯纳学院（CMC）修读的第一门数学史课程就是由亨利教授讲授的。年鉴选取的是他在黑板上讲解希腊词“logos”的照片。这个词在希腊语中意为“言语”，但是在数学领域却有着极其专业的含义——它指向那些可被理性认知或思考的事物。正是毕达哥拉斯学派发现，数学领域存在某些本质上无法被思考、无法被言说、无法被命名、甚至无法用比率表达的事物——比如正方形边长与对角线长度的不可通约性。英语中的无理数（irrational）一词便与这一发现密切相关。格兰维尔教授此刻阐释的正是这个概念。至于年鉴照片下方的俏皮配文“这个词的拼法是‘悠悠球’（Yoyo）”确实令人会心一笑。
最后要提到的是克莱蒙特.麦肯纳学院数学系另一位对我职业生涯影响深远的人——珍妮特.迈尔（Janet Myhre）教授。虽然当时我们双方都未曾真正意识到，但是她指导我完成数学荣誉毕业论文这件事对我的未来发展产生了不可估量的影响。我的毕业论文研究方向是非标准分析（nonstandard analysis），采用了她在加州理工学院的同事维姆.卢森堡（Wim Luxemburg）的开创性方法。这种方法与最初通过数理逻辑复杂体系构建的理论框架截然不同——要知道，数学家们对数理逻辑的诸多方面往往并不满意。而卢森堡的创新之处在于，他将这套理论转化为更便于实际应用的形态，使其不仅能运用于分析学，还能渗透到数学的其他分支领域。正是在珍妮特.迈尔的指引下，我选择了这条研究路径。你们或许会好奇——当然肯定猜不到——年鉴照片下配了怎样的妙语。不过作为数学家，你们定会欣赏这条简洁的真理：“单行证明的价值正在于其无可挑剔的凝练。”
1966年，我踏上了前往哈佛的旅程。但是说来奇妙，我最终进入数学史研究领域的过程可谓迂回曲折——正如我今晚早些时候在餐桌上对学生们说的：“人生最美好的际遇往往都是那些完全出乎意料的、未曾刻意准备的安排。”在克莱蒙特.麦肯纳学院的最后一年春天，我跟随格兰维尔.亨利修读了数学史课程，并与他合作完成了荣誉研讨会论文。那年研讨会的主题恰是科学与宗教，由此我对阿尔弗雷德.诺斯.怀特海（Alfred North Whitehead）产生了浓厚兴趣——在座或许有人知道，怀特海正是运用数学构建了他的过程哲学。而且我还知道这位哲学家职业生涯终点在哈佛。于是我开始了近乎广撒网的申请：向哈佛和普林斯顿申请哲学系，向南加州大学申请数学系，甚至向斯坦福申请英国文学系——毕竟我修了双学位，当时完全不确定自己的人生方向。
当时我们的辩论队连战告捷，这使我最终在1966年1月下旬来到了哈佛打比赛。我盘算着：“既然来了就该顺便去哲学系报个到，看看他们是否收到了我的申请材料。”哈佛哲学系当时设在爱默生楼——至今依然在那里——当我走上楼梯，竟迎面遇见了两位哲学泰斗——威拉德.范.奥曼.奎因（Willard Van Orman Quine）和希拉里.普特南（Hilary Putnam）。我向他们自我介绍后，他们立刻说：“哦，你就是那个研究怀特海的小子吧？你可能不明白，我们早就不研究那些了，那都成历史了。你不如去科学史系看看？”“科学史？那是什么？”原来这是哈佛新成立的系所，专门授予科学史博士学位——这冷知识我当时还真不知道。于是我前往拜访，遇见了美国科学史界的两位巨擘：伯纳德.科恩（Bernard Cohen）和约翰.默多克（John Murdoch）。他们听完我在CMC的数学研究经历和毕业论文后直接说："如果你所言非虚，现在就去霍利奥克中心（当时哈佛的行政中心）把申请从哲学系转到科学史系吧。”长话短说，我就这样阴差阳错地留在了哈佛。这又是一段始料未及的机缘。初到哈佛时，如果有人问我牛顿的《光学》与《自然哲学的数学原理》有何区别，我定然答不上来。但是不出两年，我便意识到自己找到了毕生挚爱的研究领域。在哈佛准备数学史口试期间，我受教于刚取得博士学位的朱迪斯.格拉比纳教授——她当时担任高级导师，招收了两位数学史研究者：我左侧的同事威尔伯.诺尔（Wilbur Knorr）是哈佛科学史专业的本科毕业生，而我则在此攻读科学史博士学位，后来我们都如愿以偿。
我的学术生涯还得益于三位哈佛教授和一位MIT导师的指导：画面最左侧的德克.斯特罗伊克（Dirk Struik）教授享年106岁，这位杰出的数学史家对马克思主义与数学史的交集有着特殊兴趣。后来我越发理解这种视角的价值，尽管当初我与他合作撰写关于格奥尔格.康托尔（Georg Cantor）的超限集合论发展的论文时尚未充分领会。画面中间的欧文.赫伯特（Erwin Hebert）是德国物理学史专家，作为哈佛科学史系教员，他对我研究的十九世纪德国物理学史方向最具指导意义。最右侧的理查德.布劳尔（Richard Brauer）是著名代数学家，这位柏林移民不仅认识康托尔的多位故交，更成为了我的研究的重要试金石。他审阅我的手稿时常说：“这和我记忆中的柏林不太一样。”这些反馈弥足珍贵。在格拉比纳教授的栽培与诸位大师的指导下，我的科学史研究生涯可谓得天独厚。我的首部专著由毕业论文拓展而成，探讨了超限集合论发展史上的争议——明日讲座我将详细论述这场学术论战。图中法国期刊的讽刺漫画生动展现了当时的论战态势。我的第二部著作的主题是亚伯拉罕.罗宾逊（Abraham Robinson）与非标准分析的创立，今晚我会进一步阐述。可以说非标准分析与我的首部著作形成了奇妙呼应：康托尔理论探索的是数学中的“绝对无穷”，而罗宾逊的理论则严谨构建了“无穷小”的数学体系。几个世纪以来人们都认为这是不可能的，甚至康托尔也认为无穷小概念在逻辑上自相矛盾。但是罗宾逊利用数学逻辑设法证明了并非如此。你可以说他恢复了牛顿和莱布尼茨以非常非正式的方式使用过的无穷小概念，这个概念通过亚伯拉罕.罗宾逊的工作得到了严谨的构建，得到了学术界的接受。
然后在1987年，我的生活又发生了一次180度的转变。我受美国国家科学院的邀请去中国度过了六个月，在那边举办科学史讲座。任何我可能想去的地方或者人们可能有兴趣邀请我去的地方，我都可以去。谁能拒绝这样的邀约呢？我已经在欧洲度过了将近25年，在那里研究数学史，期间大部分时间都在意大利度过，原因我现在不打算深入探讨。但是意大利已经加入了欧洲经济共同体，里拉消失了，欧元在各地使用，人们越来越多地说英语，麦当劳与吉尼斯酒吧几乎在罗马随处可见。而北京则截然不同，那里依然充满异国情调，是我从没见过的地方。我的成行要归功于清华大学的杰出思想史学家何兆武教授，他基本上通过中国科学院和美国科学院促成了这次邀请，双方共同资助了这次交流。我到了清华大学之后他说，“好消息是你来到了中国，坏消息是你不会在清华。因为清华那年有五位美国教授参加这次交流，对于清华来说太多了。所以我们把你安排到了中科院自然科学史研究所。”这正是我一直应该去的地方。
我当时住在这个小小的庭院宾馆里，这里是北京一条老胡同里的一个小客栈。与我合影这位是当时的研究所所长、中国古代天文学史专家席泽宗，当时的研究所副所长则是李佩珊女士——你可以从他们的穿着看出文化大革命还没有完全被遗忘。研究所仍然每周举行政治学习会议，但是我不用去。再来看看研究所的数学史学家。左上角这位是杜石然，右上角是郭书春，我曾与他合作校勘了中国古代数学名著《九章算术》，这部书被称为中国古代的欧几里得。下面这位是刘敦，后来担任了自然科学史研究所所长，他本人也是历史学家和数学家。正如他曾经对我说的那样：“乔，我和你之间唯一的区别在于文革期间我花了十年时间在内蒙古当牛仔。” 他们是三位训练有素、才华横溢的数学家，将兴趣转向了数学史。这三位都成了我的老师。我不可能在北京找到比他们三个更好的老师来教我中国数学史了。然后最后这位是李迪教授，他在呼和浩特的内蒙古师范大学创建了数学史和科学研究所。我也有幸访问并与他在内蒙古大学共事。
总而言之，这就是我今晚要讲的主题的由来：马克思、毛和数学。就像刚才坐在桌边的学生问我的那样，“你怎么可能把这三样东西联系在一起？”这就是我在接下来半小时左右的时间里要努力告诉你们的。这一切某种程度上始于画面上这位女士，索菲娅.亚历山德罗夫娜.亚诺夫斯卡娅（Sofya Alexandrovna Yanovskaya）。亚诺夫斯卡娅在莫斯科大学接受培训，1933年她开始研究卡尔.马克思的数学手稿。实际上卡尔.马克思的数学手稿最早由弗里德里希.恩格斯提到，他在1885年他著名的著作《反杜林论》的序言当中提请读者注意这些手稿的存在。更权威的数学手稿版本在亚诺夫斯卡娅的指导下于1968年出版，随后出现了许多译本，包括两个中文译本——为什么有两个我稍后会深入探讨。简单说来，关于数学史上的无穷小问题可以追溯到古代。画面上是大卫.格里高利（David Gregory）版本的欧几里得《几何原本》的扉页，上面的版画由牛津雕刻师迈克尔.伯格斯（Michael Burgers）雕刻而成，描绘了苏格拉底学派哲学家阿里斯提普斯（Aristippus）经历沉船事故的故事。当时他和同伴被冲上岸，然后他指着他在沙子上看到的几何图形惊呼道，“我看到了人类的遗迹。”这次沉船难免让人想起另一起没那么幸运的海上事件，也就是著名的毕达哥拉斯学派数学家希帕索斯（Hippasus）的死亡。毕达哥拉斯主义的基本信条之一是和谐与可公度性，即万物都可以用数字衡量。由于发现了正方形的边和对角线是不可公度的，这一信念受到了极大的冲击。这个发现——也就是无理数的存在——对于毕达哥拉斯派来说干系重大，他们坚持要严守秘密。然而据推测他们当中的一个成员泄露了这个秘密，结果据说被其他人杀死在海上，作为泄密的惩罚。这个说法出自欧几里得《几何原本》第10卷当中的注疏，它确切地记录了当无理数的秘密被公开时发生了什么：“有罪之人被迫永远遭受海浪的击打。”那是任何人都不应该期待的命运。
另一起重大争议的结果也同样不怎么好，这是两位著名数学家之间的争论，论题依然是无穷小，争论结果则决定了微积分创始人头衔的归属。在十七世纪，艾萨克.牛顿和戈特弗里德.威廉.莱布尼茨是一对伟大的对手与相互鏖战的哲学家。正如历史学家A.鲁珀特.霍尔（A. Rupert Hall）所描述的那样，“这是一场关于无穷小的意识形态争论，涉及无穷小既作为零又不作为零的模糊地位。”乔治.贝克莱批评无穷小概念是“与数量分道扬镳的幽灵”。在欧洲大陆上，人们针对莱布尼茨所做的事情提出了类似的反对意见。但是牛顿和莱布尼茨之间的分歧也有政治含义，因为莱布尼茨是汉诺威王朝的官方历史学家。随着汉诺威王朝的继位，英国人担心莱布尼茨可能会来到英国并实际上篡夺本应属于牛顿的职位。所有这一切算计都掺和进了他们两人之间的争议。最终莱布尼茨请求皇家科学院任命一个委员会来最终澄清自己独立发现了微积分。不过皇家科学院给出的报告认定莱布尼茨的微积分理念似乎确实是从牛顿那里抄袭而来的。他们没有告诉你的是，这份报告是牛顿主笔撰写的，所以立场绝不公正。关于无穷的最后一次重大冲突发生在伟大的柏林数学家、科学院成员、大学教授利奥波德.克罗内克（Leopold Kronecker），以及超限集合论创始人、在德国哈勒大学度过了职业生涯的格奥尔格.康托尔之间。两人卷入了一场关于无限以及数学的正确基础应该是什么的争论，我就不再多说了。但是可以说，无限概念长期以来一直是数学史上的争议主题。
当我们谈到马克思和恩格斯以及他们对数学的看法时，我们会发现事情并没有多大改变。马克思在耶拿大学写了他的博士论文，研究得是古希腊的原子论者。他对伊壁鸠鲁和德谟克利特之间的差异特别感兴趣，而且更喜欢伊壁鸠鲁，因为正如马克思所说，“他向他的原子论赋予了社会内容。” 但是在1858年，为了准备《资本论》，马克思开始认真研究数学，而恩格斯则开始认真研究物理学和其他自然科学。两人都深信，如果没有坚实的自然科学基础，他们针对社会的分析将受到严重阻碍。正如马克思在1863年版《资本论》草稿中所写的那样，“自然科学是一切知识的基础。”就好像马克思对于数学的兴趣还不够，我在哈佛大学师从的德克.斯特鲁伊克（Dirk Struik）进一步指出，在有限和无限的辩证互动当中，这两者都同样吸引了马克思和恩格斯。不幸的是，马克思关于微积分的阅读似乎局限于他在伦敦大英图书馆能找到的教科书。这意味着他借鉴的是十七十八世纪的论述，他似乎从未读过奥古斯丁.路易斯.柯西的著作。所以他对微积分的看法即便在当时也有点过时了。
恩格斯也对微积分感兴趣，但是他怀疑这套理论的基础是否真的稳固。正如他在一篇著名的反驳杜林的论战文章当中所说，“大多数人进行微分和积分不是因为他们理解自己在做什么，而是出于纯粹的信仰，因为到目前为止结果总是正确的。”他还也许有点过于诗意地继续宣称，变量的引入及其向无穷小和无穷大的扩展才是真正的问题：“这实际上是犯下原罪的时候，使得本来如此纯粹的数学吃了知识之树的果实。这开辟了通往成功的大道，但是也通往错误。绝对有效性的原始状态、所有数学事物的无可辩驳的证明性早已成为过去，争议的统治已经开始。”他这么说是因为微积分的数学理论基础并非完全稳固。马克思比恩格斯看得更深，他认为变量的无穷小与无穷大的阶的概念与辩证法一起直接关系到了自然界本身。1881年，马克思写了一篇关于导数和积分的论述并且寄给了恩格斯。这与黑格尔哲学紧密相连——正题、反题、合题，否定之否定——零除以零正是在这种背景下被看待的。这就是马克思和恩格斯的政治经济学著作对待数学的方式，马克思在《资本论》当中将这套问题摆了出来。
快进到1917年，俄国布尔什维克革命胜利之后，苏联当局突然开始认真对待马克思。他们决定收集他所有的手稿，包括数学手稿。因此苏联人在二十世纪二十年代通过一连串谈判将马克思的所有手稿的影印本请到了莫斯科，并且成立了一个专门的研究小组，由亚诺夫斯卡娅领导，她开始与该研究小组详细研究卡尔.马克思的数学著作。马克思著作的第一份报告实际上是由恩斯特.科尔曼（Ernst Kolman）完成的。恩斯特.科尔曼是一个非常有趣的人物。他是来自捷克斯洛伐克犹太人，一战期间被俄国人俘虏，后来皈依了共产主义，去了莫斯科大学学习数学，最终成为了党员。1930年，当俄罗斯数学学会原主席德米特里.叶戈罗夫（Dmitri Egorov）被克格勃逮捕之后，科尔曼甚至接任了学会主席职务。正是科尔曼在1931年参加了在伦敦举行的第二届国际科技医学史会议，在会上宣布了他们正在进行的针对卡尔.马克思数学手稿的研究工作。然后他又在1932年于苏黎世举行的国际数学家大会上做了类似的讲座。莫斯科下了大力气来出版卡尔.马克思的数学手稿，最终于1968年出版了一个权威版本。这就是这条线在西方的发展情况。
与此同时在中国，让我快速介绍一下毛领导下的中国正在发生什么，因为这能为我们理解毛日后对于数学的兴趣奠定背景。毛泽东于1893年12月出生在中国湖南省，。18岁时去了省会长沙，1911年进入中学。他加入了革命军队，参加了推翻清朝的斗争，然后回到家乡，在当地图书馆待了一段时间，他通过考试去了长沙师范学校。24岁时毕业，最终到了北京，成为了北京大学的图书馆员。1919年他回到长沙成为一所学校的校长，同时还成为了当地共产党组织的书记。中国共产党于1921年成立，毛泽东当时在上海参与了建党。1923年他当选为党中央委员，但是因病被迫回家休养。正是在家乡他意识到了农民对于革命的重要性。这就是毛始终不同于中共领导层乃至国民党蒋介石集团的地方，后者认为城市更为重要，而毛总是首先将他的命运寄托在农民身上。接下来毛通过长征跳出了国民党的钳制，随后抗日战争爆发，毛和共产党不仅成功地结束了抗日战争，还成功地击败了国民党。接下来1949年10月1日，中华人民共和国在北京成立，毛被任命为共和国主席。这就是极简版的毛历史。
毛并不是第一个认识到科学技术在新中国重要性的人。这一思潮实际上可以追溯到像陈独秀这样的二十世纪二十年代著名人物。他也看到了科学与技术发展之间的紧密联系，并且认为科学有助于将中国从封建国家改造成为共产主义国家。陈独秀是杭州大学毕业生，在日本学习过，他是二十世纪初中国伟大的革命刊物《新青年》杂志的创始人之一，曾任北京大学院长，并且也是中国共产党的联合创始人。他在1920年写道：“由封建而共和，由共和而社会主义，这是社会进化一定的轨道，中国也难以独异的；现在虽说是共和失败了，封建制度恢复了势力，但是世界潮流所趋，这封建主义得势，也不过是一时现象，我以为即在最近的将来，不但封建主义要让共和，就是共和也要让社会主义。”他还认为：“政治之有共和，学术之有科学，乃近代文明之二大鸿宝也。”与共和科学相对的是，“孔子生长封建时代，所提倡之道德，封建时代之道德也；所垂示之礼教，即生活状态，封建时代之礼教，封建时代之生活状态也；所主张之政治，封建时代之政治也。封建时代之道德、礼教、生活、政治，所心营目注，其范围不越少数君主贵族之权利与名誉，于多数国民之幸福无与焉。”
他并不是唯一有这种感觉的人……郭沫若是中国早期将科学技术推向前沿的运动中的另一位伟大人物，他也认识到了马克思在这个过程当中将要发挥的作用。然后是毛本人：“人的正确思想是从哪里来的？是从天上掉下来的吗？不是。是自己头脑里固有的吗？不是。人的正确思想只能从社会实践中来，只能从社会的生产斗争、阶级斗争和科学实验这三项实践中来。人们的社会存在决定人们的思想。而代表先进阶级的正确思想，一旦被群众掌握，就会变成改造社会、改造世界的物质力量……而无产阶级认识世界的目的，只是为了改造世界，此外再无别的目的。一个正确的认识，往往需要经过由物质到精神，由精神到物质，即由实践到认识，由认识到实践这样多次的反复，才能够完成”——这显然是黑格尔辩证法的路数——“这就是马克思主义的认识论，就是辩证唯物论的认识论。”现代中国转型时期的另一位早期知识分子吴稚晖也谈到过科学的力量，不过他更关注蒸汽机和石油驱动引擎如何发挥作用。
所有这些知识分子都部分接受过西方式培训，其中有些人还来过康奈尔大学并且在那里成立了中国科学社，这些人都很想知道科学技术将会怎样为了现代中国的创造而发挥重要作用。用毛的话来说：“人们要想得到工作的胜利即得到预想的结果，一定要使自己的思想合于客观外界的规律性，如果不合，就会在实践中失败。”这就是毛泽东对科学产生兴趣的地方，你可以说马克思也是因为同样的原因才科学产生了兴趣。毛在1938年的一次讲座中写道：“辩证法唯物论是无产阶级的宇宙观。历史给予无产阶级以消灭阶级的任务，无产阶级就用辩证法唯物论作为他们斗争的精神上的武器”——“精神武器”这一表述在毛的笔下反复出现。他还主张：“马克思主义的哲学认为，对立统一规律是宇宙的根本规律。”为了阐明这一观点，他将牛顿力学当成了批判对象，顺便谈到了矛盾的统一：“特别显著的是牛顿的（机械论），他把空间看做同时间无关系的不动的空架子，物质被安置到这种空架子里面去……‘这些相对的概念不断发展着，循着绝对真理的路线而前进，日益走近于绝对真理。人类关于空间时间概念的变动性，始终不能推翻二者的客观实在性，这正和关于物质的运动形式及其组织之科学知识的变动性，不能推翻外界的客观实在性，是一样的。’”后面这句是他引用的列宁言论。但是我想谈的不是毛关于运动的说法——他还在化学和物理背景下阐述过这一点——而是他对数学的看法。“数学中，任何一个数量都带有内部的矛盾性，都可能成为正数与负数，整数与零数。正数与负数，整数与零数，组成了数学的矛盾运动。”我不知道毛的数学是跟谁学的，但是这种观点当然与他的哲学一致。
那么卡尔.马克思数学手稿为什么在中国会有两个译本？马克思主义者们对于中国未来的期许以及像毛这样的人们在政治哲学以及社会改革当中对于上述辩证思想的应用又与两个译本的出现有什么关系？1975年，上海复旦大学的一个小组——请记住，马克思的数学手稿在几年前已经以德语和俄语双语版出版了，所以这些人十分了解马克思数学手稿的学术地位——他们发表了一系列文章，重印了卡尔.马克思数学手稿的各个部分，并且在开头添加了一段“译者的话”。与此同时，《数学学报》也正在出版这些手稿的另一版译本。这是由另一个位于北京的小组完成的，显然他们并不知道上海的同行也在进行这项工作。他们也打算出版一套中文版的马克思数学手稿。说到为什么要出版马克思数学手稿节选，他们这样写道：“在伟大的批林批孔运动的推动下，无产阶级革命导师卡尔.马克思的数学手稿特由北京大学《数学手稿》编译组编译、人民出版社正式出版了。这是我国思想战线上的一件大事。”——刚才有思想武器，现在就有思想战线——“列宁指出，‘用唯物辩证法从根本上改造整个政治经济学，把唯物主义辩证法应用于历史、自然科学、哲学以及工人阶级的政策和策略，这就是马克思和恩格斯最为注意的事情，这就是他们做出了最新颖最重要的贡献的地方，这就是他们在革命思想史上英明地迈进的一步。’”这些文字全都出自数学家的手笔，他们写作时很清楚他们必须将他们的工作置于文革的更大背景下。权威的中文版本最终于1975年出版，我在呼和浩特的时候非常幸运，因为李迪教授有两本译本，他给了我一本：“拿着，你可能觉得读起来很有意思，”实际上我也确实觉得很有意思。这个译本还包括了马克思原始手稿页的影印件。
几乎在各种期刊出版马克思数学手稿节选之后的第二期，读者们就开始写信主张如何利用这些数学手稿来加深对数学的理解。北京第144中学的胡峰（音）谈论了如何理解极限的概念。上海5703厂的傅世涛（音）想要“围绕用辩证法改进微积分教学谈谈我的感受。”福州市福建电气工程学校的章力行（音）写了一篇关于微分与零的文章——当然他这是在采用同样的黑格尔术语来谈论微分怎样既是零也是非零，我们已经注意到了。《自然辩证法》继续发表了不少于六篇读者来信节选以及若干来信全文，借鉴了出版卡尔.马克思数学手稿在中国更广泛社会当中所激发的灵感。有一位周志在《北京师范大学学报》上写了一篇有趣的文章，主题是如何理解导数。以他为代表的读者们不再仅仅是工厂工人或高中生，而是正在做出贡献的认真数学家。他的文章非常有趣：“牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献是数学发展中伟大的开创性工作，但是由于形而上学思想的限制，他们的著作不可避免地带有一些神秘主义色彩。”这是读者来信当中反复出现的批判：数学本身可能没问题，但是它需要正确的马克思主义基础。如果我们能把思想基础搞对，那么我们就可以进行数学研究而不用担心。
周志继续说道：“革命的领袖马克思，由于他对辩证唯物主义方法的深刻掌握，因此专注于导数的概念，并提出了一系列辉煌的辩证思想，尽管在过去的200年里，数学家们一直未能做出巨大的贡献。”别忘了马克思从未读过柯西，而周至显然不知道十九世纪的维尔斯特拉斯取得了什么成就，这可能在一定程度上解释了为什么他会抱有这种观点。“马克思的数学手稿是辉煌、不朽的数学著作的一部分，是马克思留给我们的宝贵科学遗产。但是它也是他哲学的一部分，它以辩证法的方法作为研究数学的模型。学习和研究数学手稿对于今天的教育革命很有必要，“对于征服数学的战斗也很有必要。”这篇文章以另一种方式宣称了马克思数学手稿可以证明数学家们能为文革做贡献：社会当中的一切都在进行自我批评，而数学家则可以利用马克思的数学著作对数学进行批判，为微积分建立新的基础，找到与马克思思想相一致的全新教学方法。正如周志所说，“科学家，特别是数学家，通过研究数学手稿掌握了强大的思想武器，从而直接改造旧的数学体系并且改革数学的学习和教学。”
其他人也纷纷效仿。华中工人大学的吴谢和张华夏（音）发表了一篇从运动悖论的角度理解微积分的论文。他们想知道，“一个运动的点怎么可能在某个地方，同时又不在那个地方？”他们俩应用了同样的黑格尔辩证论点，但是这次他们试图找到一种方法让人们可以基于这些思想来教授微积分：“一百年前，伟大的革命导师马克思写下了他的数学手稿。尽管在这百年间数学取得了巨大的发展，但是马克思的数学手稿仍然闪耀着辉煌的光芒。马克思在他的数学手稿中运用马克思主义独特的唯物辩证法批判各种唯心主义形而上学，撕下导数和微分欺骗性的神秘面纱，揭示它们的真实本质，从而为我们树立了光辉的榜样。”换句话说，只要首先批判微积分的意识形态，赋予它正确的马克思主义基础，然后就可以放心大胆地针对其进行数学研究了。
很多人试图为中国数学建立新的基础，利用马克思数学手稿的思想来改革中国的教学。1975年，《数学实践与认识》杂志的一期引用了毛语录中的两句格言。一句是“在某种意义上说，最聪明、最有才能的是最有实践经验的战士。”另一句是：“我们的提高是在普及基础上的提高；我们的普及是在提高指导下的普及。”这份数学期刊同样试图利用毛的口号和马克思主义思想来普及科学思想。以吴文俊为代表的许多数学家都在文革期间走进工厂为工人进行数学教育，从而让工人们可以用数学来提高生产力，提高产量。接下来到了1976年，另一个命运攸关的年份，中国的又一个转折点。这一年是龙年，1月8日周恩来总理逝世，7月28日发生唐山大地震，65.5万人遇难。然后9月9日毛本人也去世了。就像当时中国所有的报刊杂志一样，《数学实践与认识》杂志的扉页也刊登了毛的照片，顶部写着完全相同的标语：“伟大的领袖和导师毛泽东主席永垂不朽”。杂志内里解释说，北京将要修建毛主席纪念堂并将出版《毛泽东全集》。该期杂志的第一篇文章研究了两种不同数学方法下的不同世界观，左边使用达朗贝尔的数学，右边使用卡尔.马克思的数学。你们可以想象在这篇文章中哪一种方法会受到更多的赞许。这篇文章再次利用了马克思主义数学著作来宣扬马克思主义与毛思想路线，宣扬马克思主义如何能够被用来改革数学研究与数学教学。
再接下来则是一段从我的角度来看最有趣的文字，因为它继续使用马克思主义来研究非标准分析。文章并没有深入探讨非标准分析的细节。但是它说这是一种恢复无穷小的方法，而卡尔.马克思曾说过微积分的正确基础应该是无穷小而不是极限，它应该重新拾起牛顿和莱布尼茨曾以相当模糊的方式使用过的思想。但是现在，亚伯拉罕.罗宾逊为中国的数学家提供了坚实的基础，在此基础上将无穷小的概念引入了中国数学，而这正是这篇文章主张应该做的事情。我不会进一步深入探讨毛去世后出现在同一期刊上的进一步批评，不过以下是这份期刊当中最后几篇文章之一得出的结论：“我们对现代数学的批判性分析融合了两个积极的结果——其一是为标准分析提供了基础的柯西的极限理论，其二是亚伯拉罕.罗宾逊总结的莱布尼茨的非标准分析理论。他们的辩证综合产生了最锐利的思想武器。”所以他们设法吸收了现代数学当中柯西方法的精华，为微积分提供了坚实的基础，然后结合了亚伯拉罕.罗宾逊对于非标准分析的最新研究成果。然后还有最后一篇文章，显然是由一位数学家以及一位非常精明的哲学家撰写的。作者理解非标准分析的细节，因为他谈到了亚伯拉罕.罗宾逊取得的成就在中国可以非常有用，但是首先必须抛弃他的唯心主义形而上学。正如罗宾逊所说，无穷小的概念在物理现实中没有基础，它仅仅是一个公理引入的概念。这一理念与马克思主义意识形态可谓冰炭不容。作者主张应当忘记罗宾逊的唯心主义，为无穷小分析自行提供一套唯物主义基础，然后一切都会好起来：“在评价非标准分析时，我们应该承认罗宾逊的数学工作，但是必须认真批评他的哲学，“这是一项摆在数学和哲学学者面前的严肃而重要的任务。”
我最后想总结的是，正如我的朋友刘敦在科学史研究所告诉我的那样：“乔，我和你之间唯一的区别在于文革期间我花了十年时间在内蒙古当牛仔。”但是他从那次革命经历归来之后不出两年就在北京的自然科学研究所成为了一名数学史学家。在文革结束后的两年内，中国首次非标准分析研讨会在河南新乡举行。认真的数学家们已经准备好重新投入工作。我认为这非常了不起，它证明了数学家们尽管可能被下放到农村或被派到工厂工作，但是他们的数学从未被遗忘。他们设法在家里、晚上、周末找到时间继续尽他们所能地工作。革命一结束他们就回到了大学，还带来了一批新的学生进入大学，将现代数学引入他们希望很快就能实现现代化的中国。我第一次去中国是在1987年。我在北京的一条小胡同里住了三个月，然后我去了中国各地旅行。我那时骑着自行车看到的中国许多部分如今都已经不允许非机动车通行了。上海浦东看起来就像科幻小说里走出来的东西。中国在过去三四十年培养了世界一流的数学家，国际数学家大会几年前也在那里举行过。我认为这一切都是对于数学及其实践者的坚韧品质的肯定。这就是我今晚最后想说的话。
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